- Sem o uso de calculadora, encontre o valor dos logaritmos abaixo.
(e)
Passo 1
O enunciado pede encontrar, sem calculadora, o valor de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- a base do logaritmo é
; - o argumento é
; - o objetivo é encontrar o número
tal que .
Passo 2
Lembrete da definição de logaritmo (explicação passo a passo):
A expressão significa, por definição, que
A expressão
onde:
-
é a base do logaritmo (tem que ser e ); -
é o argumento (tem que ser ); -
é o valor do logaritmo que procuramos.
Aplicando isso ao nosso problema, queremostal que
Passo 3
Observação útil: escrever as quantidades como potências de uma mesma base facilita muito. Aqui
e
estão relacionados porque
Isso é simplesmente porque
.
Passo 4
Substituindo
na igualdade da definição, obtemos
Usamos a regra de potências
para simplificar o lado esquerdo:
Passo 5
Agora escrevemos
como potência de
, ou seja
. Assim temos
Quando duas potências com a mesma base positiva são iguais, os expoentes são iguais. Portanto
Passo 6
Resolver a equação linear
:
Isso já é o valor do logaritmo pedido. Em forma decimal isso é
, mas a forma fracionária
é mais exata e natural aqui.
Passo 7
Método alternativo (mudança de base), só para consolidar a ideia: pela fórmula de mudança de base
Como
e
, obtemos
novamente. Isso confirma o resultado anterior.
Passo 8
Regra prática que resulta do que fizemos (útil para provas): se
então
Aqui
, logo
. Exemplo rápido para fixar:
pois
.