1. Sem o uso de calculadora, encontre o valor dos logaritmos abaixo.
(e) \log _{16} 2

Passo 1

O enunciado pede encontrar, sem calculadora, o valor de \log_{16} 2.
Informações dadas:
  • a base do logaritmo é 16;
  • o argumento é 2;
  • o objetivo é encontrar o número c tal que \log_{16}2=c.

Passo 2

Lembrete da definição de logaritmo (explicação passo a passo):
A expressão \log_{a} b = c significa, por definição, que
a^{c}=b,
onde:
  • a é a base do logaritmo (tem que ser a>0 e a\neq1);
  • b é o argumento (tem que ser b>0);
  • c é o valor do logaritmo que procuramos.
    Aplicando isso ao nosso problema, queremos c tal que
16^{c}=2.

Passo 3

Observação útil: escrever as quantidades como potências de uma mesma base facilita muito. Aqui 16 e 2 estão relacionados porque
16=2^{4}.
Isso é simplesmente porque 2\cdot2\cdot2\cdot2=16.

Passo 4

Substituindo 16=2^{4} na igualdade da definição, obtemos
(2^{4})^{c}=2.
Usamos a regra de potências (x^{m})^{n}=x^{mn} para simplificar o lado esquerdo:
2^{4c}=2.

Passo 5

Agora escrevemos 2 como potência de 2, ou seja 2=2^{1}. Assim temos
2^{4c}=2^{1}.
Quando duas potências com a mesma base positiva são iguais, os expoentes são iguais. Portanto
4c=1.

Passo 6

Resolver a equação linear 4c=1:
c=\frac{1}{4}.
Isso já é o valor do logaritmo pedido. Em forma decimal isso é 0{,}25, mas a forma fracionária \dfrac{1}{4} é mais exata e natural aqui.

Passo 7

Método alternativo (mudança de base), só para consolidar a ideia: pela fórmula de mudança de base
\log_{16}2=\frac{\log_{2}2}{\log_{2}16}.
Como \log_{2}2=1 e \log_{2}16=4, obtemos \dfrac{1}{4} novamente. Isso confirma o resultado anterior.

Passo 8

Regra prática que resulta do que fizemos (útil para provas): se a=b^{k} então
\log_{a} b=\frac{1}{k}.
Aqui 16=2^{4}, logo \log_{16}2=\dfrac{1}{4}. Exemplo rápido para fixar: \log_{8}2=\dfrac{1}{3} pois 8=2^{3}.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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