Com o uso de integração, determine:
a área do triângulo delimitado pelas retas r: x+y=3, s: 2 y=x e t: y=2 x;

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo limitado pelas retas
;r:,x+y=3,;s:,2y=x e ;t:,y=2x
usando integração. Vamos usar a ideia de área por integração simples em x, isto é,
área=integralxmin^xmaxl(ytop(x)-ybot(x)r),dx á

Passo 2

Primeiro encontramos os vértices do triângulo resolvendo as interseções:
  1. rcap s:;y=tfracx2 e y=3-x
    ;tfracx2=3-ximplies 3x=6implies x=2,;y=1
  2. rcap t:;y=2x e y=3-x
    ;2x=3-ximplies 3x=3implies x=1,;y=2
  3. scap t:;tfracx2=2ximplies x=0,;y=0
    Logo os vértices são (0,0), (2,1) e (1,2).

Passo 3

Para cada x entre 0 e 2, a “base vertical” do triângulo é a diferença entre a reta superior e a reta inferior. Observando a posição das retas, notamos que:
  • De x=0 até x=1, o topo é y=t(x)=2x e o fundo é y=s(x)=tfracx2.
  • De x=1 até x=2, o topo passa a ser y=r(x)=3-x e o fundo continua y=s(x)=tfracx2.
    Assim a área é
integral0^1l(2x-tfracx2r),dx;+;integral1^2l((3-x)-tfracx2r),dx

Passo 4

Calculando cada integral:
integral0^1l(2x-tfracx2r),dx =integral0^1tfrac3x2,dx =32cdotx^22|0^1 =34
integral1^2l(3-tfrac3x2r),dx =l[,3x-tfrac3x^24r]1^2 =l(6-3r)-l(3-tfrac34r) =3-94 =34
Somando dá tfrac34+tfrac34=tfrac32

Resposta

A área do triângulo é 32

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