Dos usuários de uma biblioteca universitária 30% são alunos da graduação, 38% são alunos da pós e 32% professores. A consulta a livros estrangeiros é de 25%, 50% e 80% nas três categorias de usuários, respectivamente.
Se um usuário retirou um livro em português, calcule a probabilidade de que seja aluno da graduação. Faça o mesmo para os outros casos.

Passo 1

Você tem três tipos de usuário na biblioteca:
  • Graduandos (G), com P(G)=30%
  • Pós-graduandos §, com P§=38%
  • Professores (T), com P(T)=32%
E sabe que a probabilidade de consultarem livros estrangeiros é:
  • P(E|G)=25%
  • P(E|P)=50%
  • P(E|T)=80%
A pergunta é: se um usuário retirou um livro em português, qual a chance de ele ser cada um desses grupos? Isso envolve probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro a gente define:
B = evento “retirar livro em português” = complemento de E.
Logo
P(Bmid G)=1-P(Emid G)=1-0,25=0,75,
P(Bmid P)=1-0,50=0,50,
P(Bmid T)=1-0,80=0,20

Passo 3

Agora calcula P(B) usando a Lei da Probabilidade Total:
P(B)=P(Bmid G)P(G)+P(Bmid P)P(P)+P(Bmid T)P(T)
Substituindo valores:
P(B)=0,75cdot0,30 + 0,50cdot0,38 + 0,20cdot0,32 =0,225 + 0,19 + 0,064 = 0,479

Passo 4

Usa agora o Teorema de Bayes para graduandos:
P(Gmid B)=P(Bmid G),P(G)P(B) =0,75cdot0,300,479 =0,2250,479approx0,4697

Passo 5

Mesma ideia para pós e professores:
P(Pmid B)=0,50cdot0,380,479 =0,190,479approx0,3962,
P(Tmid B)=0,20cdot0,320,479 =0,0640,479approx0,1336

Resposta

P(G | livro em português) ≈ 46,97%
P(P | livro em português) ≈ 39,62%
P(T | livro em português) ≈ 13,36%

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