Determine o erro de truncamento do esquema de Crank-Nicolson
-0,25 C phij-1^n+1+phij^n+1+0,25 C phij+1^n+1=0,25 C phij-1^n+phij^n-0,25 C phij+1^n
aplicado à equação de advecção unidimensional. Utilize a técnica da equação modificada.
Exercício 13

Passo 1

O enunciado pede o erro de truncamento local para o esquema de Crank–Nicolson aplicado à equação de advecção unidimensional
phit+u,phix=0
cujo esquema discreto é
-0,25,C,phij-1^,n+1+phij^,n+1+0,25,C,phij+1^,n+1 = 0,25,C,phij-1^,n+phij^,n-0,25,C,phij+1^,n,
com C=u,De<a t/De<a x. Vamos usar a técnica da equação modificada: expandir em Taylor temporal e espacial, inserir na fórmula, agrupar em potências de De<a t e De<a x e usar phit=-uphix para eliminar derivadas temporais de ordem superior.

Passo 2

Reescrevemos o esquema como soma de duas partes:
phij^,n+1-phij^,nDe<a t ;+; u4De<a xl(underbracephij+1^,n+1-phij-1^,n+1A +underbracephij+1^,n-phij-1^,nBr) =0
Note que C/De<a t=u/De<a x. O termo A+B é a média central em x nos níveis n e n+1.

Passo 3

Expandimos em Taylor ao redor de (xj,tn). Primeiro
phij^,n+1-phij^,nDe<a t =phit +tfracDe<a t2,phitt +tfracDe<a t^26,phittt +O(De<a t^3)
Em segundo lugar, escrevendo
A+B =l[phi(x+De<a x,t+De<a t)-phi(x-De<a x,t+De<a t)r] +l[phi(x+De<a x,t)-phi(x-De<a x,t)r],
chegamos a
A+B4De<a x =phix +De<a t2,phixt +De<a t^24,phixtt +De<a x^23,phixxx +O(De<a x^2De<a t,;De<a x^4,;De<a t^3)

Passo 4

Somando os dois termos do esquema e multiplicando o segundo por u,
phit+u,phix +De<a t2l(phitt+u,phixtr) +De<a t^26,phittt +u,De<a t^24,phixtt +u,De<a x^23,phixxx +O(De<a x^2De<a t,dots)=0
Usando a PDE original para trocar derivadas temporais:
phit=-uphix,
phitt=u^2phixx,
phixt=-uphixx,
phittt=-u^3phixxx,
phixtt=u^2phixxx.
O termo de primeira ordem em De<a t cancela, restando em ordem mais baixa não nula
De<a t^26,phittt +u,De<a t^24,phixtt +u,De<a x^23,phixxx = u^3De<a t^212,phixxx +u,De<a x^23,phixxx

Passo 5

Portanto a equação modificada até termos de ordem O(De<a x^2,De<a t^2) é
phit+u,phix +l(tfracu,De<a x^23+tfracu^3,De<a t^212r)phixxx +O(De<a x^2De<a t,De<a x^4,De<a t^3)=0

Resposta

O erro de truncamento local tem ordem O(De<a x^2,De<a t^2) e o termo principal de dispersão é
tau;=;l(tfracu,De<a x^23+tfracu^3,De<a t^212r),phixxx
Em termos de número de Courant C=uDe<a t/De<a x,
tau=u,De<a x^212,(4+C^2),phixxx

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