Determine o erro de truncamento do esquema de Crank-Nicolson
aplicado à equação de advecção unidimensional. Utilize a técnica da equação modificada.
Exercício 13
Passo 1
O enunciado pede o erro de truncamento local para o esquema de Crank–Nicolson aplicado à equação de advecção unidimensional
cujo esquema discreto é
com . Vamos usar a técnica da equação modificada: expandir em Taylor temporal e espacial, inserir na fórmula, agrupar em potências de e e usar para eliminar derivadas temporais de ordem superior.
Passo 2
Reescrevemos o esquema como soma de duas partes:
Note que C/De<a t=u/De<a x. O termo A+B é a média central em x nos níveis n e n+1.
Passo 3
Expandimos em Taylor ao redor de (xj,tn). Primeiro
phij^,n+1-phij^,nDe<a t =phit +tfracDe<a t2,phitt +tfracDe<a t^26,phittt +O(De<a t^3)
Usando a PDE original para trocar derivadas temporais: phit=-uphix, phitt=u^2phixx, phixt=-uphixx, phittt=-u^3phixxx, phixtt=u^2phixxx.
O termo de primeira ordem em De<a t cancela, restando em ordem mais baixa não nula