Utilizando o Algoritmo da Divisão:
Mostre que a soma de dois inteiros ímpares é um inteiro par.

Passo 1

O enunciado nos pede para provar que a soma de dois inteiros ímpares resulta num inteiro par. O conteúdo principal é o Algoritmo da Divisão (Teorema da Divisão Euclidiana) aplicado ao divisor 2, que nos dá a definição de números pares e ímpares em termos de quociente e resto.

Passo 2

Pelo Algoritmo da Divisão, dado qualquer inteiro n e o divisor 2, existem únicos inteiros q (quociente) e r (resto), com 0 \le r < 2, tais que
n = 2q + r.
Como r só pode ser 0 ou 1, dizemos que:
  • n é par se r=0, ou seja, n=2q.
  • n é ímpar se r=1, ou seja, n=2q+1.

Passo 3

Sejam a e b dois inteiros ímpares. Pelas definições acima, existem inteiros q_1 e q_2 tais que
a = 2q_1 + 1,
b = 2q_2 + 1.

Passo 4

Somando a e b, temos
a + b = (2q_1 + 1) + (2q_2 + 1) = 2q_1 + 2q_2 + 2 = 2\bigl(q_1 + q_2 + 1\bigr).
O termo q_1 + q_2 + 1 é um inteiro, logo a+b é múltiplo de 2.

Passo 5

Como a+b pode ser escrito na forma 2k para algum inteiro k = q_1 + q_2 + 1, concluímos que a+b é par.

Resposta

A soma de dois inteiros ímpares é um inteiro par, pois pode ser escrita como 2k para algum inteiro k.

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