Na divisão euclidiana do inteiro a=427 por um inteiro positivo b, o quociente é 12 e o resto é r. Encontre os valores de b e de r.

Passo 1

O enunciado diz que, na divisão euclidiana de a=427 por um inteiro positivo b, o quociente é 12 e o resto é r. O conteúdo aqui é a divisão euclidiana, cuja definição estabelece que
a = b\cdot q + r,
com 0 \le r < b. Vamos usar isso para determinar b e r.

Passo 2

Usando q=12 e a=427, escrevemos
427 = b \cdot 12 + r.
Isolando r, temos
r = 427 - 12b.

Passo 3

Agora impomos a condição do resto:
0 \le r < b \quad\Longrightarrow\quad 0 \le 427 - 12b < b.
Isso gera duas desigualdades simultâneas:
  1. 427 - 12b \ge 0, ou seja, 12b \le 427.
  2. 427 - 12b < b, ou seja, 427 < 13b.

Passo 4

Resolvendo cada uma:
  1. 12b \le 427 \implies b \le \frac{427}{12}\approx 35{,}58, logo b \le 35.
  2. 427 < 13b \implies b > \frac{427}{13}\approx 32{,}85, logo b \ge 33.
Portanto, b pode ser 33, 34 ou 35.

Passo 5

Para cada valor de b, calculamos r = 427 - 12b:
  • Se b=33, então r=427 - 12\cdot33 = 427 - 396 = 31.
  • Se b=34, então r=427 - 12\cdot34 = 427 - 408 = 19.
  • Se b=35, então r=427 - 12\cdot35 = 427 - 420 = 7.

Resposta

As soluções são:
(b,r) = (33,31),\quad (34,19)\quad\text{ou}\quad(35,7).

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