Utilizando o Algoritmo da Divisão:
Mostre que a soma entre um inteiro par e um inteiro ímpar é um inteiro ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o Algoritmo da Divisão, que a soma de um inteiro par com um inteiro ímpar é um inteiro ímpar. Vamos usar a definição de par e ímpar a partir do Algoritmo da Divisão para divisor 2:
– um inteiro m é par se, dividindo por 2, o resto é 0;
– um inteiro n é ímpar se, dividindo por 2, o resto é 1.

Passo 2

Seja m um inteiro par. Pelo Algoritmo da Divisão aplicado a m e divisor 2, existem inteiros q e resto r com 0\le r<2 tais que
m = 2q + r.
Como m é par, temos r=0. Logo
m = 2q.

Passo 3

Seja n um inteiro ímpar. Novamente, pelo Algoritmo da Divisão com divisor 2, existem inteiros p e resto s com 0\le s<2 tais que
n = 2p + s.
Como n é ímpar, s=1. Portanto
n = 2p + 1.

Passo 4

Somando m e n, substituindo as expressões acima, obtém-se
m + n = (2q) + (2p + 1) = 2(q + p) + 1.
Isso mostra que m + n deixa resto 1 na divisão por 2, ou seja, está na forma 2k + 1.

Resposta

Como m+n = 2(q+p)+1, segue que a soma de um inteiro par e um inteiro ímpar é um inteiro ímpar.

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