Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede: determinar as soluções
dessa equação (ou seja, a família geral de funções
que satisfazem essa relação). As informações relevantes são apenas a própria equação e que
é suficientemente diferenciável para que as derivadas parciais existam.
Passo 2
Interpretação geométrica (intuição necessária antes de resolver): a combinação linear
é exatamente a derivada direcional de
na direção do vetor
. Vou explicar isso com calma.
Definição e fórmula:
A derivada direcional de na direção do vetor
é dada por
A derivada direcional de
Aqui cada termo significa:
-
é a taxa de variação de quando movemos em , -
é a taxa de variação de quando movemos em , - multiplicando por
e combinamos essas taxas na direção .
Aplicando ao nosso caso, a equação diz que a derivada direcional de
ao longo de
é zero:
Geometricamente, isso significa: se eu me mover num ponto qualquer na direção do vetor
, o valor de
não muda —
é constante ao longo das curvas (retas) que têm direção
.
Passo 3
Características (curvas onde
é constante): as curvas que têm direção
são as integrais da equação direcional; escrevemos a relação entre
e
seguindo a razão dos componentes:
Dessa igualdade obtemos a equação diferencial para as curvas:
Integrando essa ODE simples:
onde
é uma constante que varia de reta para reta. Reorganizando:
Portanto, cada reta característica é dada por um valor fixo de
. Em palavras: ao longo de cada reta
constante, a função
deve ser constante.
Passo 4
Construção da solução geral: se
é constante em cada reta
constante, então o valor de
em um ponto
só pode depender do número que identifica a reta onde
está — ou seja, só pode depender de
(ou de qualquer função monotônica desse valor). Logo a forma geral das soluções é
onde
é uma função arbitrária de uma variável (suficientemente diferenciável).
Observação: trocar o sinal ou fator escalar é irrelevante: escrever
é equivalente, pois
, e qualquer função
pode ser definida por
. Vou usar
em exemplos a seguir, mas tanto faz a escolha.
Passo 5
Verificação direta (mostrar que a família encontrada satisfaz a equação): suponha
onde
é diferenciável. Definindo
, pela regra da cadeia temos
Agora calcule a combinação da equação:
Portanto qualquer
dá solução válida. Isso confirma que a forma geral anterior está correta.
Passo 6
Intuição final e exemplos concretos (para você praticar e se acalmar): a ideia é que
não pode variar na direção
, então só pode variar numa direção ortogonal a
. Um vetor ortogonal a
é
porque
. Então
é uma função unidimensional do projetação sobre essa direção, por exemplo do escalar
.
Exemplos:
- Se
, então e de fato . - Se
, então e também satisfaz a equação.
Esses exemplos mostram que há uma infinidade de soluções (uma função arbitrária univariada).
Passo 7
Conclusão prática para a prova: escreva que a solução geral é uma função arbitrária de
(ou de
). Ao justificar, pode mencionar que isso vem da interpretação de derivada direcional nula e da integração das características.