Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada.
3 \frac{\partial f}{\partial x}+2 \frac{\partial f}{\partial y}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
3\frac{\partial f}{\partial x}+2\frac{\partial f}{\partial y}=0
e pede: determinar as soluções f(x,y) dessa equação (ou seja, a família geral de funções f que satisfazem essa relação). As informações relevantes são apenas a própria equação e que f é suficientemente diferenciável para que as derivadas parciais existam.

Passo 2

Interpretação geométrica (intuição necessária antes de resolver): a combinação linear 3\frac{\partial f}{\partial x}+2\frac{\partial f}{\partial y} é exatamente a derivada direcional de f na direção do vetor (3,2). Vou explicar isso com calma.
Definição e fórmula:
A derivada direcional de f na direção do vetor v=(a,b) é dada por
D_v f = a\frac{\partial f}{\partial x}+b\frac{\partial f}{\partial y}.
Aqui cada termo significa:
  • \frac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando movemos em x,
  • \frac{\partial f}{\partial y} é a taxa de variação de f quando movemos em y,
  • multiplicando por a e b combinamos essas taxas na direção v.
Aplicando ao nosso caso, a equação diz que a derivada direcional de f ao longo de v=(3,2) é zero:
D_{(3,2)}f = 3\frac{\partial f}{\partial x}+2\frac{\partial f}{\partial y}=0.
Geometricamente, isso significa: se eu me mover num ponto qualquer na direção do vetor (3,2), o valor de f não muda — f é constante ao longo das curvas (retas) que têm direção (3,2).

Passo 3

Características (curvas onde f é constante): as curvas que têm direção (3,2) são as integrais da equação direcional; escrevemos a relação entre x e y seguindo a razão dos componentes:
\frac{dx}{3}=\frac{dy}{2}.
Dessa igualdade obtemos a equação diferencial para as curvas:
\frac{dy}{dx}=\frac{2}{3}.
Integrando essa ODE simples:
y=\frac{2}{3}x+C,
onde C é uma constante que varia de reta para reta. Reorganizando:
3y-2x=C.
Portanto, cada reta característica é dada por um valor fixo de 3y-2x. Em palavras: ao longo de cada reta 3y-2x= constante, a função f deve ser constante.

Passo 4

Construção da solução geral: se f é constante em cada reta 3y-2x= constante, então o valor de f em um ponto (x,y) só pode depender do número que identifica a reta onde (x,y) está — ou seja, só pode depender de 3y-2x (ou de qualquer função monotônica desse valor). Logo a forma geral das soluções é
f(x,y)=H(3y-2x),
onde H é uma função arbitrária de uma variável (suficientemente diferenciável).
Observação: trocar o sinal ou fator escalar é irrelevante: escrever f(x,y)=G(2x-3y) é equivalente, pois 2x-3y=-(3y-2x), e qualquer função G pode ser definida por G(t)=H(-t). Vou usar u=2x-3y em exemplos a seguir, mas tanto faz a escolha.

Passo 5

Verificação direta (mostrar que a família encontrada satisfaz a equação): suponha
f(x,y)=H(2x-3y),
onde H é diferenciável. Definindo u=2x-3y, pela regra da cadeia temos
\frac{\partial f}{\partial x}=H'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=H'(u)\cdot 2,
\frac{\partial f}{\partial y}=H'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=H'(u)\cdot(-3).
Agora calcule a combinação da equação:
3\frac{\partial f}{\partial x}+2\frac{\partial f}{\partial y}=3\cdot(2H'(u))+2\cdot(-3H'(u))=(6-6)H'(u)=0.
Portanto qualquer H dá solução válida. Isso confirma que a forma geral anterior está correta.

Passo 6

Intuição final e exemplos concretos (para você praticar e se acalmar): a ideia é que f não pode variar na direção (3,2), então só pode variar numa direção ortogonal a (3,2). Um vetor ortogonal a (3,2) é (2,-3) porque (3,2)\cdot(2,-3)=0. Então f é uma função unidimensional do projetação sobre essa direção, por exemplo do escalar 2x-3y.
Exemplos:
  • Se H(t)=t, então f(x,y)=2x-3y e de fato 3f_x+2f_y=3\cdot 2 + 2\cdot(-3)=0.
  • Se H(t)=\sin t, então f(x,y)=\sin(2x-3y) e também satisfaz a equação.
    Esses exemplos mostram que há uma infinidade de soluções (uma função arbitrária univariada).

Passo 7

Conclusão prática para a prova: escreva que a solução geral é uma função arbitrária de 2x-3y (ou de 3y-2x). Ao justificar, pode mencionar que isso vem da interpretação de derivada direcional nula e da integração das características.

Resposta

f(x,y)=H(2x-3y), onde H é uma função arbitrária e diferenciável.

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