Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada.
\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as funções f(x,y) que satisfazem a equação a derivadas parciais
\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0.
Informações dadas: a equação acima é válida para os pontos (x,y) do domínio (assumimos domínio aberto e suficientemente regular). Não há condições iniciais ou de contorno fornecidas — portanto procuramos a família geral de soluções.

Passo 2

Intuição geométrica (o zero da derivada direcional): a soma \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y} é o derivada direcional de f na direção do vetor (1,1). Em palavras: se você mover um pouco no plano na direção que aumenta x e y simultaneamente (mesma velocidade), a variação de f nessa direção é zero. Logo, f é constante ao longo de cada reta que tem direção (1,1).

Passo 3

Caracterize as retas características: curvas no plano cujas tangentes têm direção (1,1) satisfazem a equação diferencial ordinária
\frac{dy}{dx}=1.
Integrando, obtemos a família de retas
y-x=C,
onde C é constante diferente para cada reta. Essas retas são as linhas com inclinação 1 (paralelas à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes).

Passo 4

Conclusão geométrica: como a derivada direcional de f ao longo de (1,1) é zero, f deve ser constante em cada uma dessas retas y-x=C. Logo, f só pode depender do valor da constante C associada à reta que contém (x,y). Ou seja, f é função de y-x apenas.

Passo 5

Transformação de variáveis (forma algébrica e rigorosa): defina novas variáveis
u = y-x,\qquad v = x.
Podemos ver f como função de (u,v): exista F tal que f(x,y)=F(u,v)=F(y-x,x).

Passo 6

Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais em termos de F. Primeiro calcule as derivadas das novas variáveis:
\frac{\partial u}{\partial x}=-1,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=1,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=0.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial v},
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial u}.

Passo 7

Substitua na equação original \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0. Usando as expressões do Passo 6:
\left(-\frac{\partial F}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial v}\right)+\frac{\partial F}{\partial u}= \frac{\partial F}{\partial v}=0.
Assim obtemos \frac{\partial F}{\partial v}=0, ou seja, F não depende de v.

Passo 8

Conclusão algébrica: se \frac{\partial F}{\partial v}=0 então existe uma função arbitrária \Phi (de classe C^1, por exemplo) tal que
F(u,v)=\Phi(u).
Voltando às variáveis originais, obtemos a forma geral das soluções:
f(x,y)=\Phi(y-x),
onde \Phi é uma função arbitrária suficientemente regular.

Passo 9

Verificação direta e exemplos: para confirmar, calcule as derivadas de f(x,y)=\Phi(y-x). Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x}=-\Phi'(y-x),\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\Phi'(y-x),
e a soma é zero. Exemplos concretos: f(x,y)=\sin(y-x), f(x,y)=(y-x)^2, f(x,y)=e^{\,y-x} são todas soluções. Qualquer escolha de \Phi dá uma solução válida.

Passo 10

Observações finais e intuição prática: geometricamente pense em pintar níveis de cor de f; esses níveis serão retas paralelas a y=x. Em provas, um caminho rápido é reconhecer que a equação diz que a derivada na direção (1,1) é zero, então buscar a combinação invariante y-x e concluir que f depende apenas dessa combinação.

Resposta

f(x,y)=\Phi(y-x), onde \Phi é uma função arbitrária differentiável.

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