Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as funções
que satisfazem a equação a derivadas parciais
Informações dadas: a equação acima é válida para os pontos
do domínio (assumimos domínio aberto e suficientemente regular). Não há condições iniciais ou de contorno fornecidas — portanto procuramos a família geral de soluções.
Passo 2
Intuição geométrica (o zero da derivada direcional): a soma
é o derivada direcional de
na direção do vetor
. Em palavras: se você mover um pouco no plano na direção que aumenta
e
simultaneamente (mesma velocidade), a variação de
nessa direção é zero. Logo,
é constante ao longo de cada reta que tem direção
.
Passo 3
Caracterize as retas características: curvas no plano cujas tangentes têm direção
satisfazem a equação diferencial ordinária
Integrando, obtemos a família de retas
onde
é constante diferente para cada reta. Essas retas são as linhas com inclinação
(paralelas à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes).
Passo 4
Conclusão geométrica: como a derivada direcional de
ao longo de
é zero,
deve ser constante em cada uma dessas retas
. Logo,
só pode depender do valor da constante
associada à reta que contém
. Ou seja,
é função de
apenas.
Passo 5
Transformação de variáveis (forma algébrica e rigorosa): defina novas variáveis
Podemos ver
como função de
: exista
tal que
.
Passo 6
Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais em termos de
. Primeiro calcule as derivadas das novas variáveis:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 7
Substitua na equação original
. Usando as expressões do Passo 6:
Assim obtemos
, ou seja,
não depende de
.
Passo 8
Conclusão algébrica: se
então existe uma função arbitrária
(de classe
, por exemplo) tal que
Voltando às variáveis originais, obtemos a forma geral das soluções:
onde
é uma função arbitrária suficientemente regular.
Passo 9
Verificação direta e exemplos: para confirmar, calcule as derivadas de
. Pela regra da cadeia,
e a soma é zero. Exemplos concretos:
,
,
são todas soluções. Qualquer escolha de
dá uma solução válida.
Passo 10
Observações finais e intuição prática: geometricamente pense em pintar níveis de cor de
; esses níveis serão retas paralelas a
. Em provas, um caminho rápido é reconhecer que a equação diz que a derivada na direção
é zero, então buscar a combinação invariante
e concluir que
depende apenas dessa combinação.