Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada.
y \frac{\partial f}{\partial x}-x \frac{\partial f}{\partial y}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
y\frac{\partial f}{\partial x}-x\frac{\partial f}{\partial y}=0
e pede para determinar as soluções usando argumentos geométricos. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona as derivadas parciais de f(x,y).
  • Não há condições iniciais ou de contorno: devemos encontrar a família geral de soluções.
  • O enunciado pede explicitamente um argumento geométrico (portanto vamos interpretar a expressão como derivada direcional/fluxo de um campo de vetores).

Passo 2

Interpretação geométrica da expressão à esquerda.
Defina o campo vetorial
\mathbf{v}(x,y)=(y,\,-x).
A derivada direcional de f na direção do vetor \mathbf{v} é dada por
D_{\mathbf{v}}f=\;v_1\frac{\partial f}{\partial x}+v_2\frac{\partial f}{\partial y}.
Aqui v_1=y e v_2=-x. Logo a equação dada é exatamente
D_{\mathbf{v}}f=\;y\frac{\partial f}{\partial x}-x\frac{\partial f}{\partial y}=0.
Explicação intuitiva: isso significa que a taxa de variação de f na direção do vetor \mathbf{v} é zero — ou seja, f é constante ao longo das curvas integrales (outra expressão: trajetórias) do campo \mathbf{v}.

Passo 3

Escrevendo as curvas integrales (características) do campo \mathbf{v}.
As equações das curvas integrales são o sistema de ODEs
\frac{dx}{dt}=y,\qquad \frac{dy}{dt}=-x.
Pelo cálculo em coordenadas, a derivada total de f ao longo de uma curva (x(t),y(t)) é, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}=y\frac{\partial f}{\partial x}-x\frac{\partial f}{\partial y}.
Pela equação do enunciado, essa expressão vale 0. Portanto
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=0,
ou seja, f é constante ao longo de cada curva integral do campo \mathbf{v}.

Passo 4

Achar as curvas integrais explicitamente (primeira integral).
Calcule a derivada de \,x^2+y^2 ao longo das curvas:
\frac{d}{dt}\bigl(x^2+y^2\bigr)=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=2x\cdot y+2y\cdot(-x)=0.
Logo x^2+y^2 é constante ao longo de cada curva integral. Isso mostra que as curvas integrais são exatamente as circunferências centradas na origem (níveis de x^2+y^2). Geometricamente, \mathbf{v}(x,y)=(y,-x) é tangente às circunferências centradas na origem, i.e., é um campo de rotação.

Passo 5

Conclusão geométrica sobre f.
Como f é constante sobre cada curva integral e essas curvas são as circunferências \{(x,y)\mid x^2+y^2=\text{constante}\}, segue que f só pode variar de um círculo para outro — isto é, f depende apenas do valor da quantidade invariante x^2+y^2. Em linguagem formal, existe uma função univariada \Phi tal que f(x,y)=\Phi\bigl(x^2+y^2\bigr). (Aqui \Phi é arbitrária, desde que suficientemente suave para permitir derivação.)

Passo 6

Verificação algébrica direta (checar que todo f dessa forma resolve a PDE).
Defina s=x^2+y^2 e suponha
f(x,y)=\Phi(s).
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=\Phi'(s)\cdot 2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\Phi'(s)\cdot 2y.
Substituindo na PDE:
y\frac{\partial f}{\partial x}-x\frac{\partial f}{\partial y} = y\bigl(2x\Phi'(s)\bigr)-x\bigl(2y\Phi'(s)\bigr)=2xy\Phi'(s)-2xy\Phi'(s)=0.
Portanto qualquer f da forma f(x,y)=\Phi(x^2+y^2) satisfaz a equação.

Passo 7

Observações finais e intuição.
  • Intuitivamente: o campo (y,-x) gera rotações ao redor da origem; exigir que a derivada direcional nessa direção seja zero significa “sem variação ao rodar” — então f é radial (depende só do raio).
  • Exemplos concretos: \Phi(s)=s f(x,y)=x^2+y^2; \Phi(s)=\sin(s) f(x,y)=\sin(x^2+y^2). Todos resolvem a PDE.

Resposta

\displaystyle f(x,y)=\Phi\bigl(x^2+y^2\bigr), com \Phi função univariada arbitrária (suficientemente diferenciável).

Exercícios relacionados