Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar as soluções usando argumentos geométricos. Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona as derivadas parciais de
. - Não há condições iniciais ou de contorno: devemos encontrar a família geral de soluções.
- O enunciado pede explicitamente um argumento geométrico (portanto vamos interpretar a expressão como derivada direcional/fluxo de um campo de vetores).
Passo 2
Interpretação geométrica da expressão à esquerda.
Defina o campo vetorial
Defina o campo vetorial
A derivada direcional de
na direção do vetor
é dada por
Aqui
e
. Logo a equação dada é exatamente
Explicação intuitiva: isso significa que a taxa de variação de
na direção do vetor
é zero — ou seja,
é constante ao longo das curvas integrales (outra expressão: trajetórias) do campo
.
Passo 3
Escrevendo as curvas integrales (características) do campo
.
As equações das curvas integrales são o sistema de ODEs
As equações das curvas integrales são o sistema de ODEs
Pelo cálculo em coordenadas, a derivada total de
ao longo de uma curva
é, pela regra da cadeia,
Pela equação do enunciado, essa expressão vale
. Portanto
ou seja,
é constante ao longo de cada curva integral do campo
.
Passo 4
Achar as curvas integrais explicitamente (primeira integral).
Calcule a derivada de ao longo das curvas:
Calcule a derivada de
Logo
é constante ao longo de cada curva integral. Isso mostra que as curvas integrais são exatamente as circunferências centradas na origem (níveis de
). Geometricamente,
é tangente às circunferências centradas na origem, i.e., é um campo de rotação.
Passo 5
Conclusão geométrica sobre
.
Como é constante sobre cada curva integral e essas curvas são as circunferências
, segue que
só pode variar de um círculo para outro — isto é,
depende apenas do valor da quantidade invariante
. Em linguagem formal, existe uma função univariada
tal que
. (Aqui
é arbitrária, desde que suficientemente suave para permitir derivação.)
Como
Passo 6
Verificação algébrica direta (checar que todo
dessa forma resolve a PDE).
Defina e suponha
Defina
Pela regra da cadeia:
Substituindo na PDE:
Portanto qualquer
da forma
satisfaz a equação.
Passo 7
Observações finais e intuição.
- Intuitivamente: o campo
gera rotações ao redor da origem; exigir que a derivada direcional nessa direção seja zero significa “sem variação ao rodar” — então é radial (depende só do raio). - Exemplos concretos:
dá ; dá . Todos resolvem a PDE.