Utilizando os axiomas que definem o conjunto dos números reais,
, faça o que se pede nos itens seguintes:
Mostre que se
, então
ou
ou
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando os axiomas do corpo
, que se
então pelo menos um dos fatores é zero. Vamos usar as propriedades de corpo: elemento neutro multiplicativo, existência de inverso multiplicativo e associatividade.
Passo 2
Primeiro, mostramos que em
não há divisores de zero: se
, então
ou
. De fato, suponha
. Pelo axioma de corpo existe
tal que
. Multiplicando
à esquerda por
temos
Logo, se
então
. Se, em vez disso,
, argumento análogo mostra
.
Passo 3
Dado
, pela associatividade do produto temos
Passo 4
Aplicando a propriedade de não existência de divisores de zero ao produto
, concluímos que
Passo 5
Se
já temos um dos fatores zero. Caso contrário,
e, novamente aplicando a mesma propriedade a
, obtemos
Passo 6
Combinando os dois casos, vemos que de
segue que
ou
ou
, como desejado.
Resposta
Seja
com
. Então pela associatividade
e pela ausência de divisores de zero em corpo segue que
ou
. Se
, então
implica
ou
. Logo, em qualquer caso,
ou
ou
.