Utilizando os axiomas que definem o conjunto dos números reais,
R, faça o que se pede nos itens seguintes:
Mostre que se a b c=0, então a=0 ou b=0 ou c=0

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando os axiomas do corpo R, que se a b c = 0 então pelo menos um dos fatores é zero. Vamos usar as propriedades de corpo: elemento neutro multiplicativo, existência de inverso multiplicativo e associatividade.

Passo 2

Primeiro, mostramos que em R não há divisores de zero: se x y = 0, então x=0 ou y=0. De fato, suponha xneq 0. Pelo axioma de corpo existe x^-1 tal que x^-1 x = 1. Multiplicando x y = 0 à esquerda por x^-1 temos
x^-1(x y) = x^-1cdot 0 implies (x^-1 x) y = 0 implies 1cdot y = 0 implies y = 0
Logo, se xneq 0 então y=0. Se, em vez disso, yneq 0, argumento análogo mostra x=0.

Passo 3

Dado a b c = 0, pela associatividade do produto temos
(a b) c = 0

Passo 4

Aplicando a propriedade de não existência de divisores de zero ao produto (a b) c = 0, concluímos que
a b = 0 ou c = 0

Passo 5

Se c = 0 já temos um dos fatores zero. Caso contrário, a b = 0 e, novamente aplicando a mesma propriedade a a b = 0, obtemos
a = 0 ou b = 0

Passo 6

Combinando os dois casos, vemos que de a b c = 0 segue que a = 0 ou b = 0 ou c = 0, como desejado.

Resposta

Seja a,b,cinR com a b c=0. Então pela associatividade (ab)c=0 e pela ausência de divisores de zero em corpo segue que ab=0 ou c=0. Se cneq0, então ab=0 implica a=0 ou b=0. Logo, em qualquer caso, a=0 ou b=0 ou c=0.

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