Utilizando os cálculos do exercícios anterior, calcule:
(a) integral-1^2(2 x^2-4 x+5) d x
(b) integral-1^2(8-x^2) d x
(c) integral-1^2(2-5 x+12 x^2) d x
(d) integral-1^2(3 x^2-4 x-1) d x
(e) integral-1^2(2 x+1)^2 d x
(f) integral-1^2(x-1)(2 x+3) d x
(g) integral-1^2 3 x(x-4) d x
(h) integral0^pi(2 sin x+3 cos x+1) dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular várias integrais definidas, usando as regras básicas de integração (regra do poder, linearidade) e, no caso da última integral, integrais de funções trigonométricas. Vamos repartir o trabalho em blocos: primeiro tratamos as integrais de polinômios e depois a integral que envolve seno e cosseno.

Passo 2

Para as quatro primeiras integrais de polinômios integral-1^2(ax^2+bx+c),dx, usamos a antiderivada genérica
integral(ax^2+bx+c),dx = a,x^33+b,x^22+c,x
Aplicando isso temos as seguintes funções Fi(x):
F1(x)=integral(2x^2-4x+5),dx =2x^33-2x^2+5x,
F2(x)=integral(8 - x^2),dx =8x-x^33,
F3(x)=integrall(2-5x+tfrac12x^2r),dx =2x-5x^22+x^36,
F4(x)=integral(3x^2-4x-1),dx =x^3-2x^2-x

Passo 3

Avaliamos F1 e F2 nos limites de -1 a 2:
F1(2)=tfrac2cdot83-2cdot4+5cdot2=tfrac163-8+10=tfrac223, F1(-1)=tfrac2cdot(-1)3-2cdot1+5cdot(-1)=-tfrac23-2-5=-tfrac233,
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integral-1^2(2x^2-4x+5),dx =F1(2)-F1(-1) =223-l(-233r) =15
Para F2:
F2(2)=8cdot2-83=403, F2(-1)=8cdot(-1)-l(-tfrac13r)=-8+tfrac13=-tfrac233,
integral-1^2(8-x^2),dx =F2(2)-F2(-1) =403-l(-233r) =21

Passo 4

Agora F3 e F4:
F3(2)=2cdot2-5cdot42+86=4-10+43=-143, F3(-1)=2cdot(-1)-5cdot12+-16=-2-52-16=-143,
integral-1^2l(2-5x+tfrac12x^2r),dx =F3(2)-F3(-1) =0
F4(2)=8-8-2=-2, F4(-1)=-1-2cdot1+1=-2,
integral-1^2(3x^2-4x-1),dx =F4(2)-F4(-1) =0

Passo 5

Para as integrais (e), (f) e (g) expandimos e integramos:
(e) (2x+1)^2=4x^2+4x+1 ,
(f) (x-1)(2x+3)=2x^2+x-3 ,
(g) 3x(x-4)=3x^2-12x .
Suas antiderivadas são, respectivamente,
Ge(x)=4x^33+2x^2+x, Gf(x)=2x^33+x^22-3x, Gg(x)=x^3-6x^2

Passo 6

Avaliamos de -1 a 2:
Para (e):
Ge(2)=tfrac323+8+2=tfrac623, Ge(-1)=-tfrac43+2-1=-tfrac13,
integral-1^2(2x+1)^2,dx =Ge(2)-Ge(-1) =21
Para (f):
Gf(2)=tfrac163+2-6=tfrac43, Gf(-1)=-tfrac23+tfrac12+3=tfrac176,
integral-1^2(x-1)(2x+3),dx =Gf(2)-Gf(-1) =-32
Para (g):
Gg(2)=8-24=-16, Gg(-1)=-1-6=-7,
integral-1^23x(x-4),dx =Gg(2)-Gg(-1) =-9

Passo 7

Finalmente, para
integral0^pi(2sin x+3cos x+1),dx
usamos
integral2sin x,dx=-2cos x, integral3cos x,dx=3sin x, integral1,dx=x,
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H(x)=-2cos x+3sin x+x
Avaliando:
H(pi)=-2(-1)+0+pi=2+pi, H(0)=-2(1)+0+0=-2,
integral0^pi(2sin x+3cos x+1),dx =H(pi)-H(0) =4+pi

Resposta

(a) 15
(b) 21
(c) 0
(d) 0
(e) 21
(f) -tfrac32
(g) -9
(h) pi+4

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