Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade rho, quando:
Determine a massa de cada uma das seguintes lâminas:
D=(x, y) in R^2: x^2+4 y^2 <= 1, y >= 0 e a densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo x.
Calcule o centro de massa da região.

Passo 1

O enunciado pede a massa e o centro de massa de uma lâmina que ocupa
D=(x,y)inR^2:x^2+4y^2<=1,;y>=0
com densidade proporcional à distância ao eixo x. Logo
rho(x,y)=k,y,
onde k>0 é constante de proporcionalidade. Para resolver, vamos usar integrais duplas em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Calcular a massa
M=integral duplaDrho(x,y),dA =kintegral duplaDy,dA
Na projeção em x, temos -1<= x<=1 e, para cada x,
0<= y<=raiz1-x^22
Então
M = kintegralx=-1^1integraly=0^raiz1-x^2/2y,dy,dx = kintegral-1^1l[y^22r]0^raiz1-x^2/2dx = kintegral-1^11-x^28,dx
Como
integral-1^1(1-x^2),dx =l[x-x^33r]-1^1 =(2-tfrac23)=tfrac43,
segue
M = k;18;43 = k6

Passo 3

Por simetria da região em torno de y-axis, o momento em x é nulo:
integral duplaDx,rho(x,y),dA=0 Longrightarrow bar x=0

Passo 4

Calcular o momento em y:
integral duplaDy,rho(x,y),dA = kintegral duplaDy^2,dA = kintegral-1^1integral0^raiz1-x^2/2y^2,dy,dx
A integral interna dá
integral0^raiz1-x^2/2y^2,dy =l[y^33r]0^raiz1-x^2/2 =(1-x^2)^3/224
Assim
integral duplaDy^2,dA =integral-1^1(1-x^2)^3/224,dx =112integral0^1(1-x^2)^3/2,dx
Sabe-se que
integral0^1(1-x^2)^3/2,dx =3pi16,
logo
integral duplaDy^2,dA =112cdot3pi16 =pi64
Portanto o momento em y é k,pi/64, e
bar y =1Mintegral duplaDy,rho,dA =k,pi/64k/6 =6pi64 =3pi32

Resposta

Massa:
M=k6
Centro de massa:
(bar x,bar y)=l(0,3pi32r)

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