Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região
e tem função densidade
, quando:
Determine a massa de cada uma das seguintes lâminas:
e a densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo
.
Calcule o centro de massa da região.
Determine a massa de cada uma das seguintes lâminas:
Calcule o centro de massa da região.
Passo 1
O enunciado pede a massa e o centro de massa de uma lâmina que ocupa
com densidade proporcional à distância ao eixo
. Logo
onde
é constante de proporcionalidade. Para resolver, vamos usar integrais duplas em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Calcular a massa
Na projeção em
, temos
e, para cada
,
Então
Como
segue
Passo 3
Por simetria da região em torno de
-axis, o momento em
é nulo:
Passo 4
Calcular o momento em
:
A integral interna dá
Assim
Sabe-se que
logo
Portanto o momento em
é
, e
Resposta
Massa:
Centro de massa: