Calcule:
integral0^1 5 r(4+r^2)^2 d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1 5r(4+r^2)^2,dr
O conteúdo aqui é técnica de substituição em integrais, que serve para transformar uma expressão em r numa expressão mais simples em uma nova variável u.

Passo 2

Vamos usar a substituição
u = 4 + r^2
Dessa forma a diferente-cial de u é
du = 2r,dr Longrightarrow r,dr = du2

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral0^1 5r(4+r^2)^2,dr = 5 integralr=0^r=1 r,dru^2 = 5 integralu=4^u=5 1u^2cdotdu2 = 52integral4^5 u^-2,du

Passo 4

Calcule a integral de u^-2:
integral u^-2,du = -u^-1
Logo,
52integral4^5 u^-2,du = 52l[-u^-1r]4^5 = 52l(-tfrac15 + tfrac14r)

Passo 5

É só resolver a combinação de frações:
52l(-tfrac15 + tfrac14r) = 52l(-tfrac420 + tfrac520r) = 52cdottfrac120 = 540 = 18

Resposta

18

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