Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
- Pede: “Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico” da função
. - Informações dadas: a função é explicitamente
. - O que vamos encontrar para esboçar o gráfico (lista do que precisamos obter):
- domínio e interceptos com eixos;
- pontos críticos (onde
ou não existe) para localizar máximos/minimos locais; - concavidade e pontos de inflexão (usando
); - comportamento nas extremidades (
e ) e assíntotas horizontais se existirem; - algumas coordenadas numéricas úteis (valores exatos e aproximações) para desenhar o esboço.
Passo 2
Domínio, continuidade e zeros (interceptos).
- A função
é produto de (polinomial) por (exponencial). Ambos estão definidos para todo , logo o domínio é . - A função é contínua e diferenciável em todo
(produtos e composições de funções diferenciáveis são diferenciáveis). - Zeros: resolvemos
. Como para todo , a única solução vem de , ou seja . - Portanto intercepto com o eixo
(e também com o eixo ) é .
- Portanto intercepto com o eixo
Passo 3
Derivada primeira
: regra do produto e regra da cadeia (aula rápida).
- Regra do produto (fórmula): se
e são diferenciáveis então
- Regra da cadeia para exponencial: se
então . - Aplicando com
e : -
. -
(por regra da cadeia com , ).
-
- Então
- Fatorando
:
Passo 4
Pontos críticos e monotonicidade (teste da primeira derivada).
- Pontos críticos: resolver
.
Como
para todo
, a única solução é
, isto é
- A derivada existe para todo
, então não há outros pontos críticos. - Sinal de
: - Para
: e ⇒ (função crescente). - Para
: ⇒ (função decrescente).
- Para
- Conclusão (classificação pelo teste da primeira derivada): em
há um máximo local (a função cresce até e decresce depois).
Passo 5
Valor do máximo local (calcule
).
- Avaliando
em :
- Aproximação numérica:
então
- Portanto o máximo local está em
com valor .
Passo 6
Derivada segunda
: regra do produto aplicada em
.
- Temos
. Aplicamos regra do produto outra vez. - Derivando:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
- Derivada de
- Portanto
- Fatorando
:
- Simplificando:
Passo 7
Pontos de inflexão e concavidade (teste da segunda derivada).
- Zerar
:
- Como
sempre, o sinal de é dado por : - Para
: ⇒ ⇒ função côncava para baixo. - Para
: ⇒ ⇒ função côncava para cima.
- Para
- Conclusão: há um ponto de inflexão em
. - Valor em
:
Passo 8
Comportamento nas extremidades e assíntotas horizontais.
- Para
: muito rápido; mesmo que cresça, o produto . Podemos justificar com L’Hôpital escrevendo
Aplicando L’Hôpital (derivando numerador e denominador) uma vez:
Logo
. Assim existe uma assíntota horizontal
à direita; o valor é atingido por cima (valores positivos decrescentes para
).
- Para
: cresce exponencialmente enquanto é negativo, então . Logo não há assíntota horizontal à esquerda; a função cai para . - Resumo das extremidades:
-
. -
.
-
Passo 9
Resumo dos intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade e extremos — tudo junto para desenhar.
- Domínio:
. - Zero:
(único zero). - Crescimento/decrescimento:
- Cresce em
. - Decresce em
.
- Cresce em
- Extremo: máximo local (e global, dentro da porção finita superior) em
com . - Concavidade:
- Côncava para baixo em
. - Côncava para cima em
.
- Côncava para baixo em
- Ponto de inflexão:
com . - Assíntota horizontal à direita:
quando . À esquerda a função vai para .
Passo 10
Como esboçar o gráfico (passos práticos para a prova — o “faça você mesmo” rápido).
- Trace os eixos. Marque o ponto
. - Marque o máximo em
(≈ ) com altura ≈ . - Marque o ponto de inflexão em
(≈ ) com altura ≈ . - Para
o gráfico desce sem limite (vai para ) — desenhe a rama esquerda descendo e vindo crescente até cruzar em . - De
a o gráfico sobe (côncavo para baixo). - De
até continua decrescendo e côncavo para baixo. - Depois de
o gráfico continua decrescendo porém agora côncavo para cima e aproxima-se de por cima quando . - Dê atenção às formas: o máximo é suave (derivada zero), e há uma inflexão bem entre o máximo e a cauda direita.
Resposta
Domínio:
Intercepto: (único zero)
. Cresce em
e decresce em
.
Máximo em com
.
. Ponto de inflexão em
com
.
(assíntota horizontal
);
.
Intercepto:
Máximo em
(Com essas informações trace o esboço: ramo vindo de
, cruza em
, sobe até o máximo em
, depois desce passando pela inflexão em
e aproxima-se de
por cima.)