Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=2 x e^{-3 x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Pede: “Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico” da função f(x)=2x e^{-3x}.
  • Informações dadas: a função é explicitamente f(x)=2x e^{-3x}.
  • O que vamos encontrar para esboçar o gráfico (lista do que precisamos obter):
    • domínio e interceptos com eixos;
    • pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) para localizar máximos/minimos locais;
    • concavidade e pontos de inflexão (usando f''(x));
    • comportamento nas extremidades ( x\to+\infty e x\to-\infty) e assíntotas horizontais se existirem;
    • algumas coordenadas numéricas úteis (valores exatos e aproximações) para desenhar o esboço.

Passo 2

Domínio, continuidade e zeros (interceptos).
  • A função f(x)=2x e^{-3x} é produto de 2x (polinomial) por e^{-3x} (exponencial). Ambos estão definidos para todo x\in\mathbb{R}, logo o domínio é (-\infty,\infty).
  • A função é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R} (produtos e composições de funções diferenciáveis são diferenciáveis).
  • Zeros: resolvemos 2x e^{-3x}=0. Como e^{-3x}>0 para todo x, a única solução vem de 2x=0, ou seja x=0.
    • Portanto intercepto com o eixo x (e também com o eixo y) é (0,0).

Passo 3

Derivada primeira f'(x): regra do produto e regra da cadeia (aula rápida).
  • Regra do produto (fórmula): se u(x) e v(x) são diferenciáveis então
(u v)' = u' v + u v'.
  • Regra da cadeia para exponencial: se g(x)=e^{h(x)} então g'(x)=h'(x)e^{h(x)}.
  • Aplicando com u(x)=2x e v(x)=e^{-3x}:
    • u'(x)=2.
    • v'(x)=(-3)e^{-3x} (por regra da cadeia com h(x)=-3x, h'(x)=-3).
  • Então
f'(x) = 2\cdot e^{-3x} + 2x\cdot(-3)e^{-3x}.
  • Fatorando 2 e^{-3x}:
f'(x) = 2 e^{-3x}(1-3x).

Passo 4

Pontos críticos e monotonicidade (teste da primeira derivada).
  • Pontos críticos: resolver f'(x)=0.
2 e^{-3x}(1-3x)=0.
Como 2 e^{-3x}\neq 0 para todo x, a única solução é 1-3x=0, isto é
x=\tfrac{1}{3}.
  • A derivada existe para todo x, então não há outros pontos críticos.
  • Sinal de f'(x):
    • Para x<\tfrac{1}{3}: 1-3x>0 e e^{-3x}>0 f'(x)>0 (função crescente).
    • Para x>\tfrac{1}{3}: 1-3x<0 f'(x)<0 (função decrescente).
  • Conclusão (classificação pelo teste da primeira derivada): em x=\tfrac{1}{3} há um máximo local (a função cresce até x=\tfrac{1}{3} e decresce depois).

Passo 5

Valor do máximo local (calcule f(\tfrac{1}{3})).
  • Avaliando f em x=\tfrac{1}{3}:
f\!\left(\tfrac{1}{3}\right) = 2\cdot\frac{1}{3}\, e^{-3\cdot \tfrac{1}{3}} = \frac{2}{3} e^{-1}.
  • Aproximação numérica: e\approx 2,71828 então
\frac{2}{3} e^{-1}\approx \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2,71828}\approx 0,245.
  • Portanto o máximo local está em x=\tfrac{1}{3} com valor f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{3}e^{-1}\approx 0,245.

Passo 6

Derivada segunda f''(x): regra do produto aplicada em f'(x).
  • Temos f'(x)=2 e^{-3x}(1-3x). Aplicamos regra do produto outra vez.
  • Derivando:
    • Derivada de 2 e^{-3x} é 2\cdot(-3)e^{-3x}=-6 e^{-3x}.
    • Derivada de (1-3x) é -3.
  • Portanto
f''(x) = (-6 e^{-3x})(1-3x) + 2 e^{-3x}(-3).
  • Fatorando e^{-3x}:
f''(x) = e^{-3x}\big[-6(1-3x)-6\big] = e^{-3x}(-6+18x-6) = e^{-3x}(18x-12).
  • Simplificando:
f''(x) = 6 e^{-3x}(3x-2).

Passo 7

Pontos de inflexão e concavidade (teste da segunda derivada).
  • Zerar f''(x):
6 e^{-3x}(3x-2)=0 \quad\Rightarrow\quad 3x-2=0 \Rightarrow x=\tfrac{2}{3}.
  • Como e^{-3x}>0 sempre, o sinal de f'' é dado por 3x-2:
    • Para x<\tfrac{2}{3}: 3x-2<0 f''(x)<0 ⇒ função côncava para baixo.
    • Para x>\tfrac{2}{3}: 3x-2>0 f''(x)>0 ⇒ função côncava para cima.
  • Conclusão: há um ponto de inflexão em x=\tfrac{2}{3}.
  • Valor em x=\tfrac{2}{3}:
f\!\left(\tfrac{2}{3}\right) = 2\cdot\frac{2}{3}\, e^{-3\cdot \tfrac{2}{3}} = \frac{4}{3}e^{-2}\approx \frac{4}{3}\cdot 0,1353\approx 0,180.

Passo 8

Comportamento nas extremidades e assíntotas horizontais.
  • Para x\to+\infty: e^{-3x}\to 0 muito rápido; mesmo que x cresça, o produto x e^{-3x}\to 0. Podemos justificar com L’Hôpital escrevendo
\lim_{x\to+\infty} x e^{-3x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{x}{e^{3x}}.
Aplicando L’Hôpital (derivando numerador e denominador) uma vez:
\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{3 e^{3x}} = 0.
Logo \lim_{x\to+\infty} f(x)=0. Assim existe uma assíntota horizontal y=0 à direita; o valor é atingido por cima (valores positivos decrescentes para x>\tfrac{1}{3}).
  • Para x\to-\infty: e^{-3x}=e^{+3|x|} cresce exponencialmente enquanto x\to-\infty é negativo, então 2x e^{-3x}\to -\infty. Logo não há assíntota horizontal à esquerda; a função cai para -\infty.
  • Resumo das extremidades:
    • \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=0^+.
    • \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty.

Passo 9

Resumo dos intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade e extremos — tudo junto para desenhar.
  • Domínio: (-\infty,\infty).
  • Zero: f(0)=0 (único zero).
  • Crescimento/decrescimento:
    • Cresce em (-\infty,\tfrac{1}{3}).
    • Decresce em (\tfrac{1}{3},\infty).
  • Extremo: máximo local (e global, dentro da porção finita superior) em x=\tfrac{1}{3} com f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{3}e^{-1}\approx 0,245.
  • Concavidade:
    • Côncava para baixo em (-\infty,\tfrac{2}{3}).
    • Côncava para cima em (\tfrac{2}{3},\infty).
  • Ponto de inflexão: x=\tfrac{2}{3} com f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\dfrac{4}{3}e^{-2}\approx 0,180.
  • Assíntota horizontal à direita: y=0 quando x\to+\infty. À esquerda a função vai para -\infty.

Passo 10

Como esboçar o gráfico (passos práticos para a prova — o “faça você mesmo” rápido).
  1. Trace os eixos. Marque o ponto (0,0).
  2. Marque o máximo em x=\tfrac{1}{3} (≈ 0,333) com altura ≈ 0,245.
  3. Marque o ponto de inflexão em x=\tfrac{2}{3} (≈ 0,667) com altura ≈ 0,180.
  4. Para x\to-\infty o gráfico desce sem limite (vai para -\infty) — desenhe a rama esquerda descendo e vindo crescente até cruzar em (0,0).
  5. De (0,0) a \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}e^{-1}\right) o gráfico sobe (côncavo para baixo).
  6. De \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}e^{-1}\right) até \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3}e^{-2}\right) continua decrescendo e côncavo para baixo.
  7. Depois de x=\tfrac{2}{3} o gráfico continua decrescendo porém agora côncavo para cima e aproxima-se de y=0 por cima quando x\to+\infty.
  8. Dê atenção às formas: o máximo é suave (derivada zero), e há uma inflexão bem entre o máximo e a cauda direita.

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Intercepto: f(0)=0 (único zero)
f'(x)=2 e^{-3x}(1-3x). Cresce em (-\infty,\tfrac{1}{3}) e decresce em (\tfrac{1}{3},\infty).
Máximo em x=\tfrac{1}{3} com f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{3}e^{-1}\approx 0,245.
f''(x)=6 e^{-3x}(3x-2). Ponto de inflexão em x=\tfrac{2}{3} com f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\dfrac{4}{3}e^{-2}\approx 0,180.
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0^+ (assíntota horizontal y=0); \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
(Com essas informações trace o esboço: ramo vindo de -\infty, cruza em (0,0), sobe até o máximo em x=\tfrac{1}{3}, depois desce passando pela inflexão em x=\tfrac{2}{3} e aproxima-se de y=0 por cima.)

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