Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas e o que precisamos obter:
Informações dadas e o que precisamos obter:
- A própria função é
. - Precisamos saber domínio, zeros, pontos notáveis (máximos/minimos locais, pontos de inflexão), monotonicidade, concavidade, comportamento quando
e com isso dar um esboço (descrição clara de como desenhar o gráfico).
Passo 2
Domínio e zeros (interceptos).
- A função
é produto de (polinômio) e (exponencial). Ambos estão definidos para todo . Logo o domínio é todo o conjunto dos reais. - Zeros de
: resolver . Como para todo , a igualdade só ocorre quando . Portanto o único zero é . O ponto de interseção com os eixos: - Interseção com o eixo
: . - Interseção com o eixo
: , então também .
- Interseção com o eixo
Passo 3
Derivada primeira — regra e cálculo passo a passo (aula rápida de derivada).
- Relembrando: a derivada de um produto
é dada pela regra do produto: Aqui e . -
. -
(a derivada de é mesmo).
-
- Aplicando a regra do produto:
- Fatorando
: Observação útil: como , o sinal de vem apenas do fator .
Passo 4
Pontos críticos e monotonicidade (usar
).
- Pontos críticos: onde
ou não existe. Aqui existe sempre, então resolvemos : - Determinar os intervalos de crescimento/decrescimento verificando o sinal de
: - Para
: e então (função crescente). - Para
: e então (função decrescente). - Para
: e então (função crescente).
- Para
- Conclusão sobre extremos:
- Em
a função passa de crescente para decrescente ⇒ é um máximo local. - Em
a função passa de decrescente para crescente ⇒ é um mínimo local. Como para todo (produto de e ), esse mínimo em é o mínimo global com valor .
- Em
Passo 5
Cálculo da derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão (aula rápida).
- Para estudar concavidade usamos
, derivando . - Podemos usar a regra do produto novamente: derivada de
é , e derivada de é . Assim - Como
, o sinal de é dado pelo polinômio quadrático .
Passo 6
Pontos de inflexão e intervalos de concavidade.
- Pontos de inflexão ocorrem quando
(e muda o sinal de concavidade). Resolver : Então os pontos de inflexão são e . - Sinal de
: - Como o coeficiente principal de
é positivo, para e para . -
para .
- Como o coeficiente principal de
- Portanto:
- Concavidade para cima (côncava para cima) em
e em . - Concavidade para baixo em
.
- Concavidade para cima (côncava para cima) em
- Valores exatos nos pontos de inflexão (útil para esboço). Para
e ,
Aproximações numéricas (se quiser desenhar sem calculadora, os valores exatos já bastam; aqui só para orientar):
-
com . -
com .
Passo 7
Classificação dos extremos usando
(teste da derivada segunda) e valores.
- Avaliando
nos pontos críticos: -
⇒ máximo local em . -
⇒ mínimo local em .
-
- Valores dos extremos:
-
(valor exato). Aproximação: . -
(mínimo global).
-
Passo 8
Comportamento nas extremidades (limites, assíntotas).
- Quando
: cresce muito mais rápido que , então . Gráfica sobe muito rápido para a direita. - Quando
: muito mais rapidamente que cresce, portanto . Logo existe uma assíntota horizontal à esquerda: . Note que a função se aproxima de por cima (positivo), e cruza o eixo em . - Não há assíntotas verticais (domínio todo
).
Passo 9
Pontos adicionais para orientar o esboço (valores simples).
-
— já bem maior que os valores perto de zero; confirma subida rápida para a direita. -
— crescimento explosivo para a direita.
Esses pontos ajudam a posicionar a curva no eixo positivo.
Passo 10
Resumo prático para esboçar o gráfico (passo a passo de desenho, como fazer na prova).
- Trace eixos
e . - Marque o ponto
(único zero, mínimo global). - Marque o máximo local em
: o ponto (aprox. ). - Marque os pontos de inflexão em
(aprox. e ) com seus respectivos valores (aprox. e ). Entre esses dois a curva é côncava para baixo; fora desse intervalo é côncava para cima. - Sobre monotonicidade: desenhe a curva aumentando (levemente) para
aproximando-se de por cima; continue subindo até o máximo em ; depois a curva desce até tocar ; depois sobe e cresce muito rápido para a direita. - Para a direita, lembre-se de que vai crescer exponencialmente — use pontos como
e para guiar a inclinação forte para cima. - Verifique concavidades: antes de
concavidade para cima; entre e concavidade para baixo; depois de concavidade para cima novamente.
Dica visual: a curva é sempre não-negativa, tem um lóbulo à esquerda subindo de
para um pico em
, desce até o solo em
e a partir daí dispara para cima.
Resposta
Esboço do gráfico de
: domínio
; único zero e mínimo global em
; máximo local em
; pontos de inflexão em
(aprox.
e
); crescente em
e
, decrescente em
; concavidade para cima em
e
e côncava para baixo em
; comportamento:
(assíntota horizontal
à esquerda) e
.