Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=x^{2} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função f(x)=x^{2}e^{x}.
Informações dadas e o que precisamos obter:
  • A própria função é f(x)=x^{2}e^{x}.
  • Precisamos saber domínio, zeros, pontos notáveis (máximos/minimos locais, pontos de inflexão), monotonicidade, concavidade, comportamento quando x\to\pm\infty e com isso dar um esboço (descrição clara de como desenhar o gráfico).

Passo 2

Domínio e zeros (interceptos).
  • A função f(x)=x^{2}e^{x} é produto de x^{2} (polinômio) e e^{x} (exponencial). Ambos estão definidos para todo x\in\mathbb{R}. Logo o domínio é todo o conjunto dos reais.
  • Zeros de f: resolver f(x)=0. Como e^{x}>0 para todo x, a igualdade só ocorre quando x^{2}=0. Portanto o único zero é x=0. O ponto de interseção com os eixos:
    • Interseção com o eixo x: (0,0).
    • Interseção com o eixo y: f(0)=0, então também (0,0).

Passo 3

Derivada primeira — regra e cálculo passo a passo (aula rápida de derivada).
  • Relembrando: a derivada de um produto u(x)v(x) é dada pela regra do produto: (uv)' = u'v + uv'.Aqui u(x)=x^{2} e v(x)=e^{x}.
    • u'(x)=2x.
    • v'(x)=e^{x} (a derivada de e^{x} é e^{x} mesmo).
  • Aplicando a regra do produto: f'(x) = (x^{2})' e^{x} + x^{2}(e^{x})' = 2x e^{x} + x^{2} e^{x}.
  • Fatorando e^{x}: f'(x) = e^{x}\bigl(x^{2}+2x\bigr) = e^{x}\,x(x+2).Observação útil: como e^{x}>0, o sinal de f'(x) vem apenas do fator x(x+2).

Passo 4

Pontos críticos e monotonicidade (usar f').
  • Pontos críticos: onde f'(x)=0 ou não existe. Aqui f' existe sempre, então resolvemos f'(x)=0: e^{x}\,x(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=-2.
  • Determinar os intervalos de crescimento/decrescimento verificando o sinal de x(x+2):
    • Para x<-2: x<0 e x+2<0 então x(x+2)>0 \Rightarrow f'(x)>0 (função crescente).
    • Para -2<x<0: x<0 e x+2>0 então x(x+2)<0 \Rightarrow f'(x)<0 (função decrescente).
    • Para x>0: x>0 e x+2>0 então x(x+2)>0 \Rightarrow f'(x)>0 (função crescente).
  • Conclusão sobre extremos:
    • Em x=-2 a função passa de crescente para decrescente ⇒ x=-2 é um máximo local.
    • Em x=0 a função passa de decrescente para crescente ⇒ x=0 é um mínimo local. Como f(x)\ge0 para todo x (produto de x^{2}\ge0 e e^{x}>0), esse mínimo em x=0 é o mínimo global com valor 0.

Passo 5

Cálculo da derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão (aula rápida).
  • Para estudar concavidade usamos f''(x), derivando f'(x)=e^{x}(x^{2}+2x).
  • Podemos usar a regra do produto novamente: derivada de e^{x} é e^{x}, e derivada de x^{2}+2x é 2x+2. Assim f''(x) = e^{x}(x^{2}+2x) + e^{x}(2x+2) = e^{x}\bigl(x^{2}+4x+2\bigr).
  • Como e^{x}>0, o sinal de f''(x) é dado pelo polinômio quadrático q(x)=x^{2}+4x+2.

Passo 6

Pontos de inflexão e intervalos de concavidade.
  • Pontos de inflexão ocorrem quando f''(x)=0 (e muda o sinal de concavidade). Resolver x^{2}+4x+2=0: x = \frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{2} = -2\pm\sqrt{2}.Então os pontos de inflexão são x=-2-\sqrt{2} e x=-2+\sqrt{2}.
  • Sinal de q(x):
    • Como o coeficiente principal de q é positivo, q(x)>0 para x<-2-\sqrt{2} e para x>-2+\sqrt{2}.
    • q(x)<0 para -2-\sqrt{2}<x<-2+\sqrt{2}.
  • Portanto:
    • Concavidade para cima (côncava para cima) em (-\infty,\,-2-\sqrt{2}) e em (-2+\sqrt{2},\,+\infty).
    • Concavidade para baixo em (-2-\sqrt{2},\,-2+\sqrt{2}).
  • Valores exatos nos pontos de inflexão (útil para esboço). Para x_{1}=-2+\sqrt{2} e x_{2}=-2-\sqrt{2}, f(x_{1})=( -2+\sqrt{2})^{2}e^{-2+\sqrt{2}}=(6-4\sqrt{2})\,e^{-2+\sqrt{2}},
f(x_{2})=( -2-\sqrt{2})^{2}e^{-2-\sqrt{2}}=(6+4\sqrt{2})\,e^{-2-\sqrt{2}}.
Aproximações numéricas (se quiser desenhar sem calculadora, os valores exatos já bastam; aqui só para orientar):
  • x_{1}\approx -0,586 com f(x_{1})\approx 0,191.
  • x_{2}\approx -3,414 com f(x_{2})\approx 0,384.

Passo 7

Classificação dos extremos usando f'' (teste da derivada segunda) e valores.
  • Avaliando f'' nos pontos críticos:
    • f''(-2)=e^{-2}[(-2)^{2}+4(-2)+2]=e^{-2}[4-8+2]=e^{-2}(-2)<0 ⇒ máximo local em x=-2.
    • f''(0)=e^{0}[0+0+2]=2>0 ⇒ mínimo local em x=0.
  • Valores dos extremos:
    • f(-2)=(-2)^{2}e^{-2}=4e^{-2}=\dfrac{4}{e^{2}} (valor exato). Aproximação: f(-2)\approx 0,541.
    • f(0)=0 (mínimo global).

Passo 8

Comportamento nas extremidades (limites, assíntotas).
  • Quando x\to+\infty: e^{x} cresce muito mais rápido que x^{2}, então f(x)=x^{2}e^{x}\to+\infty. Gráfica sobe muito rápido para a direita.
  • Quando x\to-\infty: e^{x}\to0 muito mais rapidamente que x^{2} cresce, portanto x^{2}e^{x}\to0^{+}. Logo existe uma assíntota horizontal à esquerda: y=0. Note que a função se aproxima de 0 por cima (positivo), e cruza o eixo x em x=0.
  • Não há assíntotas verticais (domínio todo \mathbb{R}).

Passo 9

Pontos adicionais para orientar o esboço (valores simples).
  • f(1)=1^{2}e^{1}=e\approx 2,718 — já bem maior que os valores perto de zero; confirma subida rápida para a direita.
  • f(2)=4e^{2}\approx 29,56 — crescimento explosivo para a direita.
    Esses pontos ajudam a posicionar a curva no eixo positivo.

Passo 10

Resumo prático para esboçar o gráfico (passo a passo de desenho, como fazer na prova).
  1. Trace eixos x e y.
  2. Marque o ponto (0,0) (único zero, mínimo global).
  3. Marque o máximo local em x=-2: o ponto \bigl(-2,\tfrac{4}{e^{2}}\bigr) (aprox. (-2,0,541)).
  4. Marque os pontos de inflexão em x=-2\pm\sqrt{2} (aprox. -3,414 e -0,586) com seus respectivos valores f(x) (aprox. 0,384 e 0,191). Entre esses dois x a curva é côncava para baixo; fora desse intervalo é côncava para cima.
  5. Sobre monotonicidade: desenhe a curva aumentando (levemente) para x\to-\infty aproximando-se de y=0 por cima; continue subindo até o máximo em x=-2; depois a curva desce até tocar (0,0); depois sobe e cresce muito rápido para a direita.
  6. Para a direita, lembre-se de que vai crescer exponencialmente — use pontos como (1,e) e (2,4e^{2}) para guiar a inclinação forte para cima.
  7. Verifique concavidades: antes de x\approx-3,414 concavidade para cima; entre -3,414 e -0,586 concavidade para baixo; depois de -0,586 concavidade para cima novamente.
Dica visual: a curva é sempre não-negativa, tem um lóbulo à esquerda subindo de y\to0^{+} para um pico em -2, desce até o solo em 0 e a partir daí dispara para cima.

Resposta

Esboço do gráfico de f(x)=x^{2}e^{x}: domínio (-\infty,\infty); único zero e mínimo global em (0,0); máximo local em \bigl(-2,\tfrac{4}{e^{2}}\bigr); pontos de inflexão em x=-2\pm\sqrt{2} (aprox. -3,414 e -0,586); crescente em (-\infty,-2) e (0,\infty), decrescente em (-2,0); concavidade para cima em (-\infty,-2-\sqrt{2}) e (-2+\sqrt{2},\infty) e côncava para baixo em (-2-\sqrt{2},-2+\sqrt{2}); comportamento: \lim_{x\to-\infty}f(x)=0^{+} (assíntota horizontal y=0 à esquerda) e \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty.

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