Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede um esboço do gráfico da função
Informações fornecidas (o que temos na mão):
- A própria forma da função
. - Precisa-se desenhar (esboçar) o gráfico — isto implica encontrar domínio, assíntotas, interceptos, comportamento nas extremidades, derivadas para monotonicidade e concavidade e alguns pontos de referência para plotar.
Passo 2
Domínio e reescrita útil. Primeiro vamos ver onde a função está definida: a divisão exige denominador diferente de zero, logo
Para entender melhor a forma da curva, escrevemos a função como soma de uma constante com uma hipérbole:
Essa forma já dá pistas: é uma translação/escalamento da função
.
Passo 3
Assíntotas. Da reescrita
seguem diretamente as assíntotas:
- Assíntota vertical:
(denominador nulo). - Assíntota horizontal: calcular
. Pela reescrita,
Logo há uma assíntota horizontal
.
Passo 4
Comportamento próximo à assíntota vertical. Estudamos os limites laterais quando
se aproxima de
:
Portanto a curva vai para
à esquerda de
e para
à direita de
.
Passo 5
Interceptos e verificações simples.
- Intercepto com o eixo
: . Então passa por . - Intercepto com o eixo
: resolver dá (já encontrado). Portanto o único intercepto é a origem . - Verificar se cruza a assíntota horizontal
: resolver leva a , impossível; logo a função nunca toma o valor — aproxima-se de mas não a atinge.
Passo 6
Derivada primeira (passo-a-passo usando a regra do quociente). Seja
e
. A regra do quociente diz
onde
e
. Aplicando:
Observação explicativa: o denominador
é sempre positivo para
, e o numerador é
, sempre negativo. Portanto
é sempre negativo para todo
do domínio.
Passo 7
Interpretação da derivada — monotonicidade. Como
conclui-se que a função é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio:
- decrescente em
; - decrescente em
.
Não existem pontos críticos internos com(derivada nunca zero) e não há máximos/minimos locais dentro do domínio.
Passo 8
Derivada segunda e concavidade. Diferenciando
usando a regra da potência:
Sinal de
:
- Para
tem-se então : a curva é côncava para cima em . - Para
tem-se então : a curva é côncava para baixo em .
Observação:muda de sinal passando por , porém não pertence ao domínio, logo não há ponto de inflexão na curva (não há ponto de inflexão porque precisa estar no domínio).
Passo 9
Pontos úteis para desenhar (cálculos e interpretação). Vou calcular alguns valores fáceis para orientar o esboço:
Com esses pontos e as assíntotas já dá para esboçar bem o gráfico:
- No ramo à esquerda de
: quando , (aproxima-se de por baixo); para valores mais próximos de (por exemplo ) a função está negativa e cai para quando . A curva é decrescente e côncava para baixo aí. - No ramo à direita de
: para temos ; então a partir do infinito a curva desce, passando por , e aproximando-se de por cima quando . Esse ramo é decrescente e côncavo para cima.
Passo 10
Como esboçar passo a passo na prática (o que desenhar no papel):
- Trace duas linhas tracejadas: vertical em
e horizontal em — são as assíntotas. - No lado esquerdo de
: - marque os pontos
, , , ; - desenhe uma curva que vem de
(por baixo) quando , passa por esses pontos, fica cada vez mais negativa e desce para ao se aproximar de pela esquerda; mantenha a concavidade para baixo.
- marque os pontos
- No lado direito de
: - marque
, ; - desenhe uma curva que sai de
em , passa por e e se aproxima de por cima quando ; mantenha a concavidade para cima.
- marque
- Verifique: a curva é sempre decrescente em cada ramo, não cruza
e cruza os eixos no ponto .
Passo 11
Resumo didático (o porquê das formas, em linguagem direta): a função é uma hipérbole deslocada: a parte
dá o comportamento hiperbólico em torno de
; somar
desloca tudo verticalmente, criando a assíntota horizontal em
. A derivada negativa constante de sinal mostra que cada ramo só desce; a segunda derivada em potências ímpares do deslocamento determina que o lado esquerdo é côncavo para baixo e o direito côncavo para cima. Esses fatos juntos definem o esboço típico de duas ramas de hipérbole, separadas por
, aproximando-se de
nas extremidades.
Resposta
Domínio:
Assíntotas: vertical e horizontal
Intercepto: (único intercepto)
Limites:
Derivadas: (decrescente em
e em
);
(côncava para baixo em
, côncava para cima em
)
Pontos para plotar:
Assíntotas: vertical
Intercepto:
Limites:
Derivadas:
Pontos para plotar: