Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=\frac{x}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico da função
f(x)=\frac{x}{x-3}.
Informações fornecidas (o que temos na mão):
  • A própria forma da função \displaystyle f(x)=\frac{x}{x-3}.
  • Precisa-se desenhar (esboçar) o gráfico — isto implica encontrar domínio, assíntotas, interceptos, comportamento nas extremidades, derivadas para monotonicidade e concavidade e alguns pontos de referência para plotar.

Passo 2

Domínio e reescrita útil. Primeiro vamos ver onde a função está definida: a divisão exige denominador diferente de zero, logo
\text{domínio}=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 3\}.í
Para entender melhor a forma da curva, escrevemos a função como soma de uma constante com uma hipérbole:
\frac{x}{x-3}=\frac{x-3+3}{x-3}=1+\frac{3}{x-3}.
Essa forma já dá pistas: é uma translação/escalamento da função \displaystyle \frac{1}{x}.

Passo 3

Assíntotas. Da reescrita \displaystyle f(x)=1+\frac{3}{x-3} seguem diretamente as assíntotas:
  • Assíntota vertical: \displaystyle x=3 (denominador nulo).
  • Assíntota horizontal: calcular \lim_{x\to\pm\infty}f(x). Pela reescrita,
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1+\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3}{x-3}=1+0=1.
Logo há uma assíntota horizontal \displaystyle y=1.

Passo 4

Comportamento próximo à assíntota vertical. Estudamos os limites laterais quando x se aproxima de 3:
\lim_{x\to 3^-}f(x)=1+\lim_{x\to 3^-}\frac{3}{x-3}=1+(-\infty)=-\infty,
\lim_{x\to 3^+}f(x)=1+\lim_{x\to 3^+}\frac{3}{x-3}=1+(+\infty)=+\infty.
Portanto a curva vai para -\infty à esquerda de x=3 e para +\infty à direita de x=3.

Passo 5

Interceptos e verificações simples.
  • Intercepto com o eixo y: f(0)=\dfrac{0}{0-3}=0. Então passa por (0,0).
  • Intercepto com o eixo x: resolver \dfrac{x}{x-3}=0 x=0 (já encontrado). Portanto o único intercepto é a origem (0,0).
  • Verificar se cruza a assíntota horizontal y=1: resolver \dfrac{x}{x-3}=1 leva a x=x-3, impossível; logo a função nunca toma o valor 1 — aproxima-se de 1 mas não a atinge.

Passo 6

Derivada primeira (passo-a-passo usando a regra do quociente). Seja u(x)=x e v(x)=x-3. A regra do quociente diz
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},
onde u'=1 e v'=1. Aplicando:
f'(x)=\frac{1\cdot (x-3)-x\cdot 1}{(x-3)^2}=\frac{x-3-x}{(x-3)^2}=\frac{-3}{(x-3)^2}.
Observação explicativa: o denominador (x-3)^2 é sempre positivo para x\neq3, e o numerador é -3, sempre negativo. Portanto f'(x) é sempre negativo para todo x do domínio.

Passo 7

Interpretação da derivada — monotonicidade. Como
f'(x)=\frac{-3}{(x-3)^2}<0\quad\text{para todo }x\neq 3,
conclui-se que a função é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio:
  • decrescente em (-\infty,3);
  • decrescente em (3,\infty).
    Não existem pontos críticos internos com f'(x)=0 (derivada nunca zero) e não há máximos/minimos locais dentro do domínio.

Passo 8

Derivada segunda e concavidade. Diferenciando f'(x)=-3(x-3)^{-2} usando a regra da potência:
f''(x)=-3\cdot(-2)(x-3)^{-3}=\frac{6}{(x-3)^3}.
Sinal de f'':
  • Para x>3 tem-se (x-3)^3>0 então f''(x)>0: a curva é côncava para cima em (3,\infty).
  • Para x<3 tem-se (x-3)^3<0 então f''(x)<0: a curva é côncava para baixo em (-\infty,3).
    Observação: f'' muda de sinal passando por x=3, porém x=3 não pertence ao domínio, logo não há ponto de inflexão na curva (não há ponto de inflexão porque precisa estar no domínio).

Passo 9

Pontos úteis para desenhar (cálculos e interpretação). Vou calcular alguns valores fáceis para orientar o esboço:
f(-1)=\frac{-1}{-1-3}=\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}=0,25,
f(0)=0,
f(1)=\frac{1}{1-3}=\frac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}=-0,5,
f(2)=\frac{2}{-1}=-2,
f(4)=\frac{4}{1}=4,
f(6)=\frac{6}{3}=2.
Com esses pontos e as assíntotas já dá para esboçar bem o gráfico:
  • No ramo à esquerda de x=3: quando x\to -\infty, f(x)\to 1^- (aproxima-se de 1 por baixo); para valores mais próximos de 3 (por exemplo x=2) a função está negativa e cai para -\infty quando x\to 3^-. A curva é decrescente e côncava para baixo aí.
  • No ramo à direita de x=3: para x\to 3^+ temos f(x)\to +\infty; então a partir do infinito a curva desce, passando por (4,4), (6,2) e aproximando-se de y=1 por cima quando x\to +\infty. Esse ramo é decrescente e côncavo para cima.

Passo 10

Como esboçar passo a passo na prática (o que desenhar no papel):
  1. Trace duas linhas tracejadas: vertical em x=3 e horizontal em y=1 — são as assíntotas.
  2. No lado esquerdo de x=3:
    • marque os pontos (-1,0{,}25), (0,0), (1,-0{,}5), (2,-2);
    • desenhe uma curva que vem de y\approx 1 (por baixo) quando x\to -\infty, passa por esses pontos, fica cada vez mais negativa e desce para -\infty ao se aproximar de x=3 pela esquerda; mantenha a concavidade para baixo.
  3. No lado direito de x=3:
    • marque (4,4), (6,2);
    • desenhe uma curva que sai de +\infty em x\to 3^+, passa por (4,4) e (6,2) e se aproxima de y=1 por cima quando x\to+\infty; mantenha a concavidade para cima.
  4. Verifique: a curva é sempre decrescente em cada ramo, não cruza y=1 e cruza os eixos no ponto (0,0).

Passo 11

Resumo didático (o porquê das formas, em linguagem direta): a função é uma hipérbole deslocada: a parte \dfrac{3}{x-3} dá o comportamento hiperbólico em torno de x=3; somar 1 desloca tudo verticalmente, criando a assíntota horizontal em y=1. A derivada negativa constante de sinal mostra que cada ramo só desce; a segunda derivada em potências ímpares do deslocamento determina que o lado esquerdo é côncavo para baixo e o direito côncavo para cima. Esses fatos juntos definem o esboço típico de duas ramas de hipérbole, separadas por x=3, aproximando-se de y=1 nas extremidades.

Resposta

Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 3\}
Assíntotas: vertical \;x=3\; e horizontal \;y=1
Intercepto: (0,0) (único intercepto)
Limites: \displaystyle\lim_{x\to 3^-}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to 3^+}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1
Derivadas: \displaystyle f'(x)=-\frac{3}{(x-3)^2}<0 (decrescente em (-\infty,3) e em (3,\infty)); \displaystyle f''(x)=\frac{6}{(x-3)^3} (côncava para baixo em (-\infty,3), côncava para cima em (3,\infty))
Pontos para plotar: (-1,0{,}25),\\ (0,0),\\ (1,-0{,}5),\\ (2,-2),\\ (4,4),\\ (6,2)

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