Calcule a integral iterada.
integral0^2 integral-1^y^2 integral-1^z y z d x d z d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada juntos! O exercício pede para calcular a integral tripla de sobre a região definida por de 0 a 2, de -1 a e de -1 a . Vamos precisar entender como trabalhar com integrais múltiplas, especialmente integrais triplas, e seguir passo a passo para não se perder.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral-1^z y z , dx = y z integral-1^z dx = y z (z - (-1)) = y z (z + 1) . A função que vamos integrar é , e os limites de são de -1 a . Como e são constantes em relação a , a integração fica mais simples:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da primeira integração na próxima integral, que é em relação a integral-1^y^2 y z (z + 1) , dz = y integral-1^y^2 z (z + 1) , dz , com limites de -1 a z (z + 1) = z^2 + z :
y [ integral-1^y^2 z^2 , dz + integral-1^y^2 z , dz ] = y [ z^33 |-1^y^2 + z^22 |-1^y^2 ]
Vamos expandir :
Agora, integramos termo a termo:

Passo 4

Calculamos as integrais definidas:
y [ (y^2)^33 - (-1)^33 + (y^2)^22 - (-1)^22 ] = y [ y^63 + 13 + y^42 - 12 ]
Simplificando:
y ( y^63 + y^42 - 16 )

Passo 5

Finalmente, integramos em relação a integral0^2 y ( y^63 + y^42 - 16 ) dy = integral0^2 ( y^73 + y^52 - y6 ) dy , com limites de 0 a 2:
y^824 + y^612 - y^212 |0^2
Integramos termo a termo:

Passo 6

Substituímos 2^824 + 2^612 - 2^212 = 25624 + 6412 - 412 = 25624 + 6012 = 25624 + 5 = 25624 + 12024 = 37624 = 473 :
E como resulta em 0, o resultado final é .

Resposta

473

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