Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule:
, onde
é o sólido limitado por
,
e que contem o ponto
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
que é a interseção da esfera
com o cone
e que contém o ponto
.
Conteúdo: cálculo de volume via integrais triplas em coordenadas cilíndricas, determinando corretamente os limites de e
.
Conteúdo: cálculo de volume via integrais triplas em coordenadas cilíndricas, determinando corretamente os limites de
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas
temos
logo a esfera fica
e o cone interno é
Como o ponto
está em
, estamos na parte de cima do cone, isto é
.
Passo 3
Para cada
em
, o raio máximo em
é
As curvas se cruzam quando
Logo dividimos a integral em dois trechos:
-
, onde e então . -
, onde e então .
Passo 4
Escrevendo o volume
Passo 5
Calculamos cada parte:
Para
:
então
Para
:
logo
Somando e incluindo o fator
de
: