Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule:
integral triplaW d x d y d z, onde W é o sólido limitado por x^2+y^2+z^2=2 R z, x^2+y^2=z^2 e que contem o ponto (0,0, R).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido W que é a interseção da esfera
x^2+y^2+z^2=2Rz
com o cone
x^2+y^2=z^2
e que contém o ponto (0,0,R).
Conteúdo: cálculo de volume via integrais triplas em coordenadas cilíndricas, determinando corretamente os limites de r e z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) temos
x^2+y^2=r^2,
logo a esfera fica
r^2+z^2=2Rz Long<=ftrightarrow r^2+(z-R)^2=R^2,
e o cone interno é
r^2=z^2 Longrightarrow r=|z|
Como o ponto (0,0,R) está em z>0, estamos na parte de cima do cone, isto é r<= z.

Passo 3

Para cada z em [0,2R], o raio máximo em r é
rmax(z)=minl(z,;raiz2Rz-z^2r)
As curvas se cruzam quando
z=raiz2Rz - z^2 Longrightarrow z=0ou z=R
Logo dividimos a integral em dois trechos:
  1. 0<= z<= R, onde raiz2Rz-z^2>= z e então r<= z.
  2. R<= z<= 2R, onde raiz2Rz-z^2<= z e então r<= raiz2Rz-z^2.

Passo 4

Escrevendo o volume
V=integral triplaWdV =integral0^2pi!!integralz=0^R!!integralr=0^zr,dr,dz,dtheta ;+; integral0^2pi!!integralz=R^2R!!integralr=0^raiz2Rz-z^2r,dr,dz,dtheta

Passo 5

Calculamos cada parte:
Para 0<= z<= R:
integralr=0^zr,dr =z^22,
então
integral0^Rz^22,dz =12,R^33 =R^36
Para R<= z<= 2R:
integralr=0^raiz2Rz-z^2r,dr =2Rz-z^22,
logo
integralR^2R2Rz-z^22,dz =12l[Rz^2-tfracz^33r]R^2R =R^33
Somando e incluindo o fator 2pi de theta:
V =2pil(tfracR^36+tfracR^33r) =2picdottfracR^32 =pi R^3

Resposta

boxedV=pi R^3

Exercícios relacionados