Utilizando coordenadas esféricas, calcule:
integral triplaW(x^2+y^2) d x d y d z, onde W=(x, y, z) in R^3 / x^2+y^2+z^2 <= a^2, z >= 0

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral triplaWl(x^2+y^2r),dx,dy,dz
onde W é a metade superior da bola de raio a, ou seja
W=(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2+z^2<= a^2,;z>=0
O conteúdo principal é a troca para coordenadas esféricas, usando a parametrização e o jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas esféricas tomamos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com rho>=0, phiin[0,pi], thetain[0,2pi], e o jacobiano
rho^2sinphi. No nosso caso z>=0 implica phiin[0,pi/2]. Além disso
x^2+y^2=rho^2sin^2phi,
logo o integrando vezes o jacobiano fica
(x^2+y^2),dV =rho^2sin^2phi;l(rho^2sinphi,drho,dphi,dthetar) =rho^4sin^3phi,drho,dphi,dtheta

Passo 3

A integral tripla se separa como
integral triplaW(x^2+y^2),dV =integraltheta=0^2pi!dtheta ;integralphi=0^pi/2!sin^3phi,dphi ;integralrho=0^arho^4,drho

Passo 4

Calcular cada um dos três fatores:
  1. integral0^2pidtheta = 2pi
  2. integral0^arho^4,drho =l[tfracrho^55r]0^a =tfraca^55
  3. integral0^pi/2sin^3phi,dphi. Usamos
    sin^3phi=sinphi,(1-cos^2phi), então
integral0^pi/2sin^3phi,dphi =integral0^pi/2sinphi,dphi -integral0^pi/2sinphicos^2phi,dphi
Fazendo u=cosphi no segundo termo obtemos
integral0^pi/2sin^3phi,dphi =l[-cosphir]0^pi/2 -l[-tfraccos^3phi3r]0^pi/2 =1-13=23

Passo 5

Multiplicando os fatores:
2pi;times;23;times;a^55 =4pi,a^515

Resposta

4pi,a^515

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