Utilizando coordenadas esféricas, calcule:
, onde
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
onde
é a metade superior da bola de raio
, ou seja
O conteúdo principal é a troca para coordenadas esféricas, usando a parametrização e o jacobiano.
Passo 2
Em coordenadas esféricas tomamos
com
,
,
, e o jacobiano
. No nosso caso
implica
. Além disso
logo o integrando vezes o jacobiano fica
Passo 3
A integral tripla se separa como
Passo 4
Calcular cada um dos três fatores:
-
-
-
. Usamos
, então
Fazendo
no segundo termo obtemos
Passo 5
Multiplicando os fatores: