Utilizando a definição mostre que lim n infty n2 n+1=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite de n2n + 1 quando n tende ao infinito é igual a 12. Isso está relacionado ao conteúdo de limites de sequências na matemática. Para resolver isso, vamos usar a definição formal do limite, que ajuda a comprovar esse resultado passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para sequências: dizemos que limn to infty an = L se, para todo número pequeno positivo epsilon, existe um número N tal que para todo n > N, a diferença entre an e L é menor que epsilon. Ou seja, |an - L| < epsilon.

Passo 3

Aplicando essa definição ao nosso caso, queremos provar que:
limn to infty n2n + 1 = 12
Então, precisamos mostrar que para todo epsilon > 0, existe um N tal que se n > N, então:
| n2n + 1 - 12 | < epsilon

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
| n2n + 1 - 12 | = | 2n - (2n + 1)2(2n + 1) | = | -12(2n + 1) | = 12(2n + 1)
Então, nossa condição fica:
12(2n + 1) < epsilon

Passo 5

Agora, queremos encontrar n tal que 12(2n + 1) < epsilon. Vamos resolver essa desigualdade para n:
12(2n + 1) < epsilon 12epsilon < 2n + 1 12epsilon - 1 < 2n 12epsilon - 1 div 2 < n n > 14epsilon - 12
Portanto, se escolhermos N = 14epsilon - 12, garantimos que para todo n > N, a condição | n2n + 1 - 12 | < epsilon será satisfeita.

Resposta

Assim, mostramos que limn infty n2n+1 = 12.

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