Utilizando coordenadas esféricas e coordenadas cilíndricas calcule os seguintes volumes e integrais.
Encontre o volume da região limitada pela esfera
e fora do cilindro
.
Encontre o volume da região limitada pela esfera
Passo 1
O enunciado pede o volume da porção do espaço que está dentro da esfera
e ao mesmo tempo fora do cilindro
Vamos calcular esse volume primeiro em coordenadas cilíndricas e depois em coordenadas esféricas para verificar que dá o mesmo resultado.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas tomamos
com Jacobiano
. A região é dada por
O volume é
Passo 3
Integramos primeiro em
:
Logo
Passo 4
Para avaliar
faço
,
. Então
Em
isso vale
Portanto
Passo 5
Em coordenadas esféricas usamos
com
,
,
e Jacobiano
. A esfera é
. O cilindro
vira
, ou
. Como
precisamos de
, i.e.\
. Assim
Passo 6
Integramos em
:
Então
Passo 7
Separando,
Logo o integrando total dá
e multiplicando por
temos
Resposta
O volume da região é
.