Utilizando coordenadas esféricas e coordenadas cilíndricas calcule os seguintes volumes e integrais.
Encontre o volume da região limitada pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e fora do cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume da porção do espaço que está dentro da esfera
x^2+y^2+z^2=4
e ao mesmo tempo fora do cilindro
x^2+y^2=1
Vamos calcular esse volume primeiro em coordenadas cilíndricas e depois em coordenadas esféricas para verificar que dá o mesmo resultado.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas tomamos
r=raizx^2+y^2, thetain[0,2pi], zinR,
com Jacobiano r. A região é dada por
1<= r<= 2, -raiz4-r^2<= z<= raiz4-r^2, 0<=theta<=2pi
O volume é
V=integral0^2pi!integralr=1^2!integralz=-raiz4-r^2^raiz4-r^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integral-raiz4-r^2^raiz4-r^2r,dz =2,r,raiz4-r^2
Logo
V =integral0^2pi !dtheta; integral1^2 2,r,raiz4-r^2,dr =2pi;integral1^22,r,raiz4-r^2,dr =4piintegral1^2rraiz4-r^2,dr

Passo 4

Para avaliar
integral1^2rraiz4-r^2,dr,
faço u=4-r^2, du=-2r,dr. Então
integral rraiz4-r^2,dr =-tfrac12integral u^1/2,du =-tfrac12cdottfrac23,u^3/2 =-tfrac13(4-r^2)^3/2
Em [1,2] isso vale
l[-tfrac13(4-r^2)^3/2r]1^2 =-tfrac13l(0^3/2-3^3/2r) =tfrac13cdot3raiz3 =raiz3
Portanto
V=4pitimesraiz3=4piraiz3

Passo 5

Em coordenadas esféricas usamos
rho >= 0, phi in [0,pi], theta in [0,2pi],
com x=rho sin phi cos theta, y=rho sin phi sin theta, z=rho cos phi e Jacobiano rho^2 sin phi. A esfera é rho=2. O cilindro x^2+y^2=1 vira rho sin phi=1, ou rho=1/sin phi. Como rho <= 2 precisamos de sin phi >= 1/2, i.e.\ phi in [pi/6,5pi/6]. Assim
V = integral0^2pi ! integralphi=pi/6^5pi/6 ! integralrho=1/sin phi^2 rho^2 sin phi; drho , dphi , dtheta

Passo 6

Integramos em rho:
integral1/sinphi^2!rho^2sinphi,drho =sinphi;l[tfracrho^33r]1/sinphi^2 =sinphil(tfrac83-tfrac13sin^3phir)
Então
V =2piintegralpi/6^5pi/6 l(tfrac83sinphi-tfrac13sin^2phir),dphi

Passo 7

Separando,
integralpi/6^5pi/6tfrac83sinphi,dphi =tfrac83[-cosphi]pi/6^5pi/6 =tfrac83l(-cos(5pi/6)+cos(pi/6)r) =tfrac83l(tfracraiz32+tfracraiz32r) =tfrac83raiz3,
integralpi/6^5pi/6tfrac13sin^2phi,dphi =tfrac13l[-cotphir]pi/6^5pi/6 =tfrac13l(-cot(5pi/6)+cot(pi/6)r) =tfrac13(raiz3+raiz3) =tfrac2raiz33
Logo o integrando total dá
tfrac8raiz33-tfrac2raiz33 =tfrac6raiz33 =2raiz3,
e multiplicando por 2pi temos
V=2picdot2raiz3=4piraiz3

Resposta

O volume da região é 4piraiz3.

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