Utilizando coordenadas esféricas e coordenadas cilíndricas calcule os seguintes volumes e integrais.
Passo 1
A questão pede para calcular o integral triplo
Usando coordenadas cilíndricas (ou esféricas, mas aqui vamos usar cilíndricas) e encontrando o valor numérico. Vamos precisar da definição de coordenadas cilíndricas e do jacobiano associado.
Passo 2
Na coordenadas cilíndricas fazemos
O integrando é
Passo 3
O domínio em cilíndricas fica
(
0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2},\quad 0\le r\le1,\quad r\le z\le\sqrt{2-r^{2}}.
]
(
0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2},\quad 0\le r\le1,\quad r\le z\le\sqrt{2-r^{2}}.
]
Passo 4
Logo o integral separa-se em
Passo 5
Calculando cada parte:
Passo 6
Falta a parte em
:
Passo 7
Multiplicando tudo:
Resposta
\tfrac{2}{15}