Utilizando coordenadas esféricas e coordenadas cilíndricas calcule os seguintes volumes e integrais.
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz2-x^2-y^2 z y d z d y d x

Passo 1

A questão pede para calcular o integral triplo
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz2-x^2-y^2 z,y,dz,dy,dx
Usando coordenadas cilíndricas (ou esféricas, mas aqui vamos usar cilíndricas) e encontrando o valor numérico. Vamos precisar da definição de coordenadas cilíndricas e do jacobiano associado.

Passo 2

Na coordenadas cilíndricas fazemos
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, dV=dz,r,dr,dtheta
O integrando é
z,y,dV = z,(rsintheta),(r,dz,dr,dtheta) = z,r^2sintheta,dz,dr,dtheta

Passo 3

O domínio em cilíndricas fica
(
0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2},\quad 0\le r\le1,\quad r\le z\le\sqrt{2-r^{2}}.
]

Passo 4

Logo o integral separa-se em
integraltheta=0^pi/2sintheta,dtheta times integralr=0^1r^2,dr times integralz=r^raiz2-r^2z,dz

Passo 5

Calculando cada parte:
  1. integral0^pi/2sintheta,dtheta =1
  2. integralz=r^raiz2-r^2z,dz = l[tfracz^22r]r^raiz2-r^2 = tfrac2-r^22-tfracr^22=1-r^2

Passo 6

Falta a parte em r:
integral0^1r^2(1-r^2),dr = integral0^1(r^2-r^4),dr = l[tfracr^33-tfracr^55r]0^1 = tfrac13-tfrac15=tfrac215

Passo 7

Multiplicando tudo: 1times1timestfrac215=tfrac215

Resposta

\tfrac{2}{15}

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