Considere a seguinte equação diferencial:
Caso sua resposta para o item (a) seja negativa, determine um fator integrante para a equação (1). Sugestão: tente um fator integrante da forma:
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial: $ y , dx - 3x , dy = 0 $. O conteúdo aqui é equações diferenciais, especificamente buscando um fator integrante. Vamos precisar entender um pouco sobre como transformar a equação para torná-la exata usando um fator que depende de $ \frac{y}{x} $.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de uma forma que a gente possa identificar os termos $ M $ e $ N $. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
Como $ 1 \neq -3 $, a equação não é exata. Por isso, precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 4
A sugestão é tentar um fator integrante da forma:
Vamos chamar $ \frac{y}{x} = v $. Assim, $ u = h(v) $.
Passo 5
Para encontrar $ h(v) $, precisamos que a equação multiplicada por $ u $ seja exata. Isso significa que:
Calculando as derivadas:
$$
\frac{\partial (u y)}{\partial y} = u + y \frac{du}{dy}
$$
Usando a regra da cadeia, sabemos que:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na condição de exatidão:
Simplificando:
Rearranjando os termos:
Como $ v = \frac{y}{x} $, então $ y = v x $. Substituindo:
Daí:
Passo 7
Como $ u = h(v) $, temos:
Isso é uma equação diferencial para $ h(v) $. Vamos resolver:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Onde $ K $ é uma constante. Podemos escolher $ K = 1 $ para simplificar, então:
Resposta
O fator integrante é $ u(x, y) = \left( \frac{y}{x} \right)^2 $.