Considere a seguinte equação diferencial:
y d x-3 x d y=0
Caso sua resposta para o item (a) seja negativa, determine um fator integrante para a equação (1). Sugestão: tente um fator integrante da forma: u(x, y)=h(yx), h: R R.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial: $ y , dx - 3x , dy = 0 $. O conteúdo aqui é equações diferenciais, especificamente buscando um fator integrante. Vamos precisar entender um pouco sobre como transformar a equação para torná-la exata usando um fator que depende de $ \frac{y}{x} $.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de uma forma que a gente possa identificar os termos $ M $ e $ N $. A equação dada é:
M
Podemos reescrever isso como:
N
Então, temos:
y , dx - 3x , dy = 0
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partial ypartial y = 1
partial Npartial x = partial (-3x)partial x = -3
Como $ 1 \neq -3 $, a equação não é exata. Por isso, precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 4

A sugestão é tentar um fator integrante da forma:
u(x, y) = h( yx )
Vamos chamar $ \frac{y}{x} = v $. Assim, $ u = h(v) $.

Passo 5

Para encontrar $ h(v) $, precisamos que a equação multiplicada por $ u $ seja exata. Isso significa que:
h(v)
Calculando as derivadas:
$$
\frac{\partial (u y)}{\partial y} = u + y \frac{du}{dy}
$$
u
Usando a regra da cadeia, sabemos que:
ddx(u M) = ddy(u N)
partial (u y)partial y = u + y dudy

Passo 6

Substituindo essas derivadas na condição de exatidão:
u + y cdot h'(v)x = -3u + (-3x) cdot h'(v) cdot ( -yx^2 )
Simplificando:
u + y h'(v)x = -3u + 3y h'(v)x
Rearranjando os termos:
4u = 2y h'(v)x
Como $ v = \frac{y}{x} $, então $ y = v x $. Substituindo:
v = yx
Daí:
y = v x

Passo 7

Como $ u = h(v) $, temos:
u = h(v)
Isso é uma equação diferencial para $ h(v) $. Vamos resolver:
2 h(v) = v h'(v)
Integrando ambos os lados:
h(v)
Exponenciando:
h'(v)h(v) = 2v
Onde $ K $ é uma constante. Podemos escolher $ K = 1 $ para simplificar, então:
ln |h(v)| = 2 ln |v| + C

Resposta

O fator integrante é $ u(x, y) = \left( \frac{y}{x} \right)^2 $.

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