Utilizando coordenadas polares, mostre que existe uma bijeção contínua do intervalo
em
. Esta bijeção pode ser um homeomorfismo?
Utilizando coordenadas polares, mostre que existe uma bijeção contínua do intervalo
Passo 1
O enunciado dá o círculo unidade
e pede duas coisas: (1) construir uma bijeção contínua do intervalo
sobre
usando coordenadas polares; (2) responder se essa bijeção pode ser um homeomorfismo (isto é, se a bijeção pode ter inversa contínua).\n
As informações relevantes: o domínio é o intervalo (inclui
, não inclui
); o contradomínio é
. Não há figura a considerar além da definição do círculo unidade.
As informações relevantes: o domínio é o intervalo
Passo 2
Construção natural usando coordenadas polares. Em coordenadas polares, um ponto do círculo de raio
é representado pelo ângulo
medido a partir do eixo
. Definimos a função
Explico por que essa é a escolha natural: para qualquer
a posição correspondente no plano é dada pela coordenada
e
; como
, a imagem está em
.
Passo 3
Mostro que
é injetora e sobrejetora (ou seja, bijetora).
-
Sobrejetividade: dado qualquer
temos , logo existe um ângulo tal que e (por exemplo, podemos tomar ou usar a função ajustada para o intervalo ). Assim para todo ponto do círculo existe com . Portanto é sobrejetora. -
Injetividade: suponha
. Então
Isto implica
para algum
. Mas como
, só é possível
, logo
. Assim
é injetora. Portanto
é bijeção.
Passo 4
Mostro que
é contínua. As componentes
e
são funções contínuas de
(são combinações e limites de polinómios e séries trigonométricas). A função
é dada por
; uma função com componentes contínuas é contínua (produto topológico/R^2). Logo
é contínua em todo
.
Até aqui temos uma bijeção contínua
.
Passo 5
A pergunta restante:
pode ser um homeomorfismo? Ou seja, a inversa
é contínua? A resposta é não. Vou dar duas justificativas didáticas (uma topológica geral e uma explícita por sequência).
-
Argumento topológico (compacticidade): Se
fosse um homeomorfismo então seria contínua e, por consequência, a imagem contínua de um conjunto compacto seria compacto. Mais precisamente, é compacto; se é contínua então seria compacto, porque continuação preserva compacidade. Mas não é compacto (por exemplo, a cobertura aberta não admite subcobertura finita, ou mais simples: a sequência em não tem sub-sequência convergente em porque seu limite é ). Isso contradiz a compacticidade; logo não pode ser contínua, então não é homeomorfismo. -
Argumento por sequência (mais concreto): considere
. Então
quando
. Ou seja,
converge no círculo para the point
. Se
fosse contínua em
então
deveria convergir para
. Mas
(porque escolhemos a representação com
para
), enquanto
. Como
e
, a sequência de preimagens não converge para
. Portanto
não é contínua em
. Conclusão:
não é homeomorfismo.
Resposta
A bijeção contínua é
dada por
.\n
Não, essa bijeção não é um homeomorfismo (a inversa não é contínua).
Não, essa bijeção não é um homeomorfismo (a inversa não é contínua).