(2,4)
Utilizando coordenadas polares, mostre que existe uma bijeção contínua do intervalo [0,2 \pi) em S^{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}. Esta bijeção pode ser um homeomorfismo?

Passo 1

O enunciado dá o círculo unidade
S^{1}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}=1\}
e pede duas coisas: (1) construir uma bijeção contínua do intervalo [0,2\pi) sobre S^{1} usando coordenadas polares; (2) responder se essa bijeção pode ser um homeomorfismo (isto é, se a bijeção pode ter inversa contínua).\n
As informações relevantes: o domínio é o intervalo [0,2\pi) (inclui 0, não inclui 2\pi); o contradomínio é S^{1}. Não há figura a considerar além da definição do círculo unidade.

Passo 2

Construção natural usando coordenadas polares. Em coordenadas polares, um ponto do círculo de raio 1 é representado pelo ângulo \theta medido a partir do eixo x. Definimos a função
f:[0,2\pi)\to S^{1},\qquad f(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta).
Explico por que essa é a escolha natural: para qualquer \theta a posição correspondente no plano é dada pela coordenada x=\cos\theta e y=\sin\theta; como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, a imagem está em S^{1}.

Passo 3

Mostro que f é injetora e sobrejetora (ou seja, bijetora).
  • Sobrejetividade: dado qualquer (x,y)\in S^{1} temos \sqrt{x^{2}+y^{2}}=1, logo existe um ângulo \theta tal que x=\cos\theta e y=\sin\theta (por exemplo, podemos tomar \theta=\operatorname{Arg}(x+iy) ou usar a função \operatorname{atan2}(y,x) ajustada para o intervalo [0,2\pi)). Assim para todo ponto do círculo existe \theta\in[0,2\pi) com f(\theta)=(x,y). Portanto f é sobrejetora.
  • Injetividade: suponha f(\theta_{1})=f(\theta_{2}). Então
\cos\theta_{1}=\cos\theta_{2}\quad\text{e}\quad \sin\theta_{1}=\sin\theta_{2}.
Isto implica \theta_{1}=\theta_{2}+2k\pi para algum k\in\mathbb{Z}. Mas como \theta_{1},\theta_{2}\in[0,2\pi), só é possível k=0, logo \theta_{1}=\theta_{2}. Assim f é injetora. Portanto f é bijeção.

Passo 4

Mostro que f é contínua. As componentes \cos\theta e \sin\theta são funções contínuas de \theta (são combinações e limites de polinómios e séries trigonométricas). A função f é dada por f(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta); uma função com componentes contínuas é contínua (produto topológico/R^2). Logo f é contínua em todo [0,2\pi).
Até aqui temos uma bijeção contínua f:[0,2\pi)\to S^{1}.

Passo 5

A pergunta restante: f pode ser um homeomorfismo? Ou seja, a inversa f^{-1}:S^{1}\to[0,2\pi) é contínua? A resposta é não. Vou dar duas justificativas didáticas (uma topológica geral e uma explícita por sequência).
  • Argumento topológico (compacticidade): Se f fosse um homeomorfismo então f^{-1} seria contínua e, por consequência, a imagem contínua de um conjunto compacto seria compacto. Mais precisamente, S^{1} é compacto; se f^{-1} é contínua então f^{-1}(S^{1})=[0,2\pi) seria compacto, porque continuação preserva compacidade. Mas [0,2\pi) não é compacto (por exemplo, a cobertura aberta \{[0,2\pi-1/n)\}_{n\in\mathbb{N}}\cup\{(2\pi-1,2\pi)\} não admite subcobertura finita, ou mais simples: a sequência \theta_{n}=2\pi-1/n em [0,2\pi) não tem sub-sequência convergente em [0,2\pi) porque seu limite é 2\pi\notin[0,2\pi)). Isso contradiz a compacticidade; logo f^{-1} não pode ser contínua, então f não é homeomorfismo.
  • Argumento por sequência (mais concreto): considere \theta_{n}=2\pi-\tfrac{1}{n}\in[0,2\pi). Então
f(\theta_{n})=\big(\cos(2\pi-\tfrac{1}{n}),\sin(2\pi-\tfrac{1}{n})\big)=(\cos\tfrac{1}{n},-\sin\tfrac{1}{n})\to(1,0)
quando n\to\infty. Ou seja, f(\theta_{n}) converge no círculo para the point (1,0). Se f^{-1} fosse contínua em (1,0) então f^{-1}(f(\theta_{n}))=\theta_{n} deveria convergir para f^{-1}((1,0)). Mas f^{-1}((1,0))=0 (porque escolhemos a representação com \theta=0 para (1,0)), enquanto \theta_{n}\to 2\pi. Como 2\pi\neq 0 e 2\pi\notin[0,2\pi), a sequência de preimagens não converge para 0. Portanto f^{-1} não é contínua em (1,0). Conclusão: f não é homeomorfismo.

Resposta

A bijeção contínua é f:[0,2\pi)\to S^{1} dada por f(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta).\n
Não, essa bijeção não é um homeomorfismo (a inversa não é contínua).

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