(3,0) Seja M um espaço métrico.
(a) Defina quando A \subset M é aberto. Defina quando B \subset M é fechado.
(b) Para cada x \in M e r>0, mostre que a B(x, r) (bola aberta de centro em x e raio r ) é um conjunto aberto.
(c) Mostre que F \subset M é fechado se, e somente se, F=\bar{F}, onde \bar{F} é o fecho de F.

Passo 1

O enunciado dá um espaço métrico M e pede três coisas:
(a) Definir quando um subconjunto A\subset M é aberto e quando um subconjunto B\subset M é fechado.
(b) Para cada x\in M e para cada r>0, mostrar que B(x,r) (a bola aberta de centro em x e raio r) é um conjunto aberto.
(c) Mostrar que um conjunto F\subset M é fechado se, e somente se, F=\bar{F}, onde \bar{F} é o fecho (fecho/fechamento) de F.
Informações dadas/úteis: temos a distância d associada ao espaço métrico M; a bola aberta de centro x e raio r é definida por B(x,r)=\{y\in M\mid d(y,x)<r\}. A resolução vai trabalhar com essas definições.

Passo 2

Definição detalhada de conjunto aberto (método que vou usar).
Um subconjunto A\subset M é dito aberto se, para todo ponto a\in A, existe um raio \rho>0 tal que a bola aberta centrada em a e raio \rho está contida em A. Em símbolos:
A\text{ é aberto} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall a\in A\;\exists \rho>0\;\text{tal que}\; B(a,\rho)\subset A.é
Explicação do que isso significa: “estar aberto” quer dizer que em qualquer ponto de A posso rodear esse ponto por uma bolinha (com algum raio \rho) que fica inteiramente dentro de A. O raio \rho pode depender de a.
Definição de conjunto fechado (duas formas equivalentes que usarei).
Forma 1 (complemento aberto): B\subset M é fechado se o complemento M\setminus B é aberto (isto é, se fora de B consigo para cada ponto uma bolinha contida fora de B).
Forma 2 (contendo pontos de aderência / limite): B é fechado se contém todos os seus pontos de aderência (isto é, se sempre que uma sequência de pontos de B converge em M, o limite pertence a B). Estas duas formas são equivalentes em espaços métricos; eu usarei a forma do complemento aberto na prova de (c) porque fica direta.

Passo 3

Proposição a provar em (b) e ferramenta chave: desigualdade triangular.
Lembrete da desigualdade triangular em espaços métricos: para quaisquer u,v,w\in M temos
d(u,w)\le d(u,v)+d(v,w).
Vamos usar essa desigualdade para comparar distâncias e garantir inclusões de bolas.

Passo 4

Prova de (b): mostrar que B(x,r) é aberto.
Pegue um ponto arbitrário y\in B(x,r). Por definição de bola sabemos que d(x,y)<r. Defina
\varepsilon := r - d(x,y).
Como d(x,y)<r temos \varepsilon>0. A ideia é mostrar que a bola B(y,\varepsilon) fica toda dentro de B(x,r); assim ao redor de qualquer y\in B(x,r) existe uma bolinha contida em B(x,r), o que prova que B(x,r) é aberto (pela definição do passo anterior).
Agora mostro a inclusão. Seja z\in B(y,\varepsilon). Então d(z,y)<\varepsilon. Aplicando a desigualdade triangular com os pontos z,y,x obtemos
d(z,x)\le d(z,y)+d(y,x).
Como d(z,y)<\varepsilon e \varepsilon = r - d(x,y), somando obtemos
d(z,x) < \varepsilon + d(x,y) = (r - d(x,y)) + d(x,y) = r.
Logo d(z,x)<r, isto é, z\in B(x,r). Assim B(y,\varepsilon)\subset B(x,r). Como y foi um ponto arbitrário de B(x,r) e encontramos um \varepsilon>0 dependendo de y com B(y,\varepsilon)\subset B(x,r), concluímos que B(x,r) é aberto, provando (b).
Comentário amigo: a escolha \varepsilon=r-d(x,y) é a mais natural — é a folga que sobra entre y e a fronteira da bola B(x,r).

Passo 5

Definição precisa do fecho \bar{F} que vou usar em (c).
O fecho (ou fechamento) de F\subset M é o conjunto de todos os pontos aderentes a F; isto é,
\bar{F}=\{x\in M\mid \forall \rho>0,\; B(x,\rho)\cap F\neq\varnothing\}.
Interpretando: x\in\bar{F} significa que toda bola centrada em x, por menor que seja o raio, encontra algum ponto de F. Em particular, todo ponto de F pertence a \bar{F} (basta observar que B(x,\rho)\cap F contém x quando x\in F).
Também vale a outra definição alternativa (muito usada): \bar{F} é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm F. Essas definições são equivalentes; eu vou trabalhar com a definição por aderência acima porque é direta para provar a equivalência pedida.

Passo 6

Prova da implicação direta: se F é fechado então F=\bar{F}.
Primeiro, sempre vale F\subset\bar{F}, porque para qualquer x\in F e qualquer \rho>0 temos x\in B(x,\rho)\cap F, logo a interseção não é vazia, portanto x é aderente a F.
Agora suponha que F é fechado e tome x\in\bar{F}. Vou mostrar x\in F. Se, por absurdo, x\notin F, então x\in M\setminus F. Como F é fechado, M\setminus F é aberto; portanto existe \rho>0 tal que B(x,\rho)\subset M\setminus F. Mas isso contradiz a definição de x\in\bar{F}, que exige que B(x,\rho)\cap F\neq\varnothing para todo \rho>0. Logo não é possível x\notin F; portanto x\in F. Assim \bar{F}\subset F. Juntando com a inclusão F\subset\bar{F} obtemos F=\bar{F}.

Passo 7

Prova da implicação recíproca: se F=\bar{F} então F é fechado.
Queremos mostrar que M\setminus F é aberto. Tome x\in M\setminus F. Se toda bola centrada em x encontrasse F (isto é, se para todo \rho>0 tivéssemos B(x,\rho)\cap F\neq\varnothing), então por definição x\in\bar{F}. Mas estamos supondo F=\bar{F}, então isso implicaria x\in F, contradizendo x\in M\setminus F. Portanto existe algum \rho>0 tal que B(x,\rho)\cap F=\varnothing, i.e. B(x,\rho)\subset M\setminus F. Isso mostra que em cada ponto do complemento existe uma bola inteira no complemento, logo M\setminus F é aberto. Assim F é fechado.

Passo 8

Comentário pedagógico final e ligação com sequências (opcional, para fixar).
Em espaços métricos é comum também caracterizar o fecho como o conjunto de todos os limites de sequências de pontos de F: x\in\bar{F} se, e somente se, existe uma sequência (x_n) em F com x_n\to x. Essa é uma forma prática de pensar em problemas em provas, mas a prova dessa equivalência envolve construir sequências a partir das bolas que definem aderência (pegando um ponto de F em cada bola de raio 1/n, por exemplo). Isso é consistente com as definições usadas acima.

Resposta

(a) A\subset M é aberto se \forall a\in A\;\exists \rho>0 tal que B(a,\rho)\subset A. \quad B\subset M é fechado se M\setminus B é aberto.\n(b) Para todo x\in M e r>0, B(x,r) é aberto (prova usando \varepsilon=r-d(x,y)>0 e a desigualdade triangular). \n(c) F\subset M é fechado se, e somente se, F=\bar{F}, onde \bar{F}=\{x\in M\mid \forall\rho>0,\;B(x,\rho)\cap F\neq\varnothing\}.

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