Seja
um espaço métrico.
(a) Defina quando
é aberto. Defina quando
é fechado.
(b) Para cada
e
, mostre que a
(bola aberta de centro em
e raio
) é um conjunto aberto.
(c) Mostre que
é fechado se, e somente se,
, onde
é o fecho de
.
(a) Defina quando
(b) Para cada
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá um espaço métrico
e pede três coisas:
(a) Definir quando um subconjunto é aberto e quando um subconjunto
é fechado.
(b) Para cada e para cada
, mostrar que
(a bola aberta de centro em
e raio
) é um conjunto aberto.
(c) Mostrar que um conjunto é fechado se, e somente se,
, onde
é o fecho (fecho/fechamento) de
.
(a) Definir quando um subconjunto
(b) Para cada
(c) Mostrar que um conjunto
Informações dadas/úteis: temos a distância
associada ao espaço métrico
; a bola aberta de centro
e raio
é definida por
. A resolução vai trabalhar com essas definições.
Passo 2
Definição detalhada de conjunto aberto (método que vou usar).
Um subconjunto é dito aberto se, para todo ponto
, existe um raio
tal que a bola aberta centrada em
e raio
está contida em
. Em símbolos:
Um subconjunto
Explicação do que isso significa: “estar aberto” quer dizer que em qualquer ponto de
posso rodear esse ponto por uma bolinha (com algum raio
) que fica inteiramente dentro de
. O raio
pode depender de
.
Definição de conjunto fechado (duas formas equivalentes que usarei).
Forma 1 (complemento aberto): é fechado se o complemento
é aberto (isto é, se fora de
consigo para cada ponto uma bolinha contida fora de
).
Forma 2 (contendo pontos de aderência / limite): é fechado se contém todos os seus pontos de aderência (isto é, se sempre que uma sequência de pontos de
converge em
, o limite pertence a
). Estas duas formas são equivalentes em espaços métricos; eu usarei a forma do complemento aberto na prova de (c) porque fica direta.
Forma 1 (complemento aberto):
Forma 2 (contendo pontos de aderência / limite):
Passo 3
Proposição a provar em (b) e ferramenta chave: desigualdade triangular.
Lembrete da desigualdade triangular em espaços métricos: para quaisquer temos
Lembrete da desigualdade triangular em espaços métricos: para quaisquer
Vamos usar essa desigualdade para comparar distâncias e garantir inclusões de bolas.
Passo 4
Prova de (b): mostrar que
é aberto.
Pegue um ponto arbitrário . Por definição de bola sabemos que
. Defina
Pegue um ponto arbitrário
Como
temos
. A ideia é mostrar que a bola
fica toda dentro de
; assim ao redor de qualquer
existe uma bolinha contida em
, o que prova que
é aberto (pela definição do passo anterior).
Agora mostro a inclusão. Seja
. Então
. Aplicando a desigualdade triangular com os pontos
obtemos
Como
e
, somando obtemos
Logo
, isto é,
. Assim
. Como
foi um ponto arbitrário de
e encontramos um
dependendo de
com
, concluímos que
é aberto, provando (b).
Comentário amigo: a escolha
é a mais natural — é a folga que sobra entre
e a fronteira da bola
.
Passo 5
Definição precisa do fecho
que vou usar em (c).
O fecho (ou fechamento) de é o conjunto de todos os pontos aderentes a
; isto é,
O fecho (ou fechamento) de
Interpretando:
significa que toda bola centrada em
, por menor que seja o raio, encontra algum ponto de
. Em particular, todo ponto de
pertence a
(basta observar que
contém
quando
).
Também vale a outra definição alternativa (muito usada):
é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm
. Essas definições são equivalentes; eu vou trabalhar com a definição por aderência acima porque é direta para provar a equivalência pedida.
Passo 6
Prova da implicação direta: se
é fechado então
.
Primeiro, sempre vale , porque para qualquer
e qualquer
temos
, logo a interseção não é vazia, portanto
é aderente a
.
Primeiro, sempre vale
Agora suponha que
é fechado e tome
. Vou mostrar
. Se, por absurdo,
, então
. Como
é fechado,
é aberto; portanto existe
tal que
. Mas isso contradiz a definição de
, que exige que
para todo
. Logo não é possível
; portanto
. Assim
. Juntando com a inclusão
obtemos
.
Passo 7
Prova da implicação recíproca: se
então
é fechado.
Queremos mostrar que é aberto. Tome
. Se toda bola centrada em
encontrasse
(isto é, se para todo
tivéssemos
), então por definição
. Mas estamos supondo
, então isso implicaria
, contradizendo
. Portanto existe algum
tal que
, i.e.
. Isso mostra que em cada ponto do complemento existe uma bola inteira no complemento, logo
é aberto. Assim
é fechado.
Queremos mostrar que
Passo 8
Comentário pedagógico final e ligação com sequências (opcional, para fixar).
Em espaços métricos é comum também caracterizar o fecho como o conjunto de todos os limites de sequências de pontos de :
se, e somente se, existe uma sequência
em
com
. Essa é uma forma prática de pensar em problemas em provas, mas a prova dessa equivalência envolve construir sequências a partir das bolas que definem aderência (pegando um ponto de
em cada bola de raio
, por exemplo). Isso é consistente com as definições usadas acima.
Em espaços métricos é comum também caracterizar o fecho como o conjunto de todos os limites de sequências de pontos de
Resposta
(a)
é aberto se
tal que
é fechado se
é aberto.\n(b) Para todo
e
,
é aberto (prova usando
e a desigualdade triangular). \n(c)
é fechado se, e somente se,
, onde