Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi :
\cos x \leq 1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva a inequação trigonométrica no intervalo dado. Informações fornecidas:
  • Resolver \cos x \le \frac{1}{2}.
  • Domínio considerado: 0 \le x \le 2\pi.
  • A desigualdade é do tipo “menor ou igual”, portanto inclui os pontos em que \cos x = \frac{1}{2}.

Passo 2

Primeira ideia útil: para entender onde \cos x atinge o valor \frac{1}{2} usamos o círculo unitário e ângulos notáveis. Sabemos que
\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.
Como a função \cos x é par ( \cos(-\theta)=\cos\theta) e periódica de período 2\pi, as soluções gerais da equação \cos x=\frac{1}{2} são
x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isto significa que, dentro de um período, os ângulos onde \cos x=\frac{1}{2} são simetricamente posicionados em torno do eixo 0.

Passo 3

Agora extraio as soluções específicas no intervalo 0\le x\le 2\pi. Tomando k=0 em x=\frac{\pi}{3}+2k\pi x=\frac{\pi}{3}. Tomando a outra família x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi com k=1
x=-\frac{\pi}{3}+2\pi = \frac{5\pi}{3}.
Logo os pontos onde \cos x=\frac{1}{2} no intervalo pedido são
x=\frac{\pi}{3}\quad\text{e}\quad x=\frac{5\pi}{3}.

Passo 4

Para decidir onde \cos x \le \frac{1}{2} entre esses pontos, uso a continuidade e o comportamento da função cosseno: \cos x é decrescente em [0,\pi] de 1 até -1 e crescente em [\pi,2\pi] de -1 até 1. Em x=0 temos \cos 0=1>\tfrac{1}{2}, portanto logo a partir de 0 até o primeiro encontro \frac{\pi}{3} temos \cos x>\tfrac{1}{2}. Entre \frac{\pi}{3} e \frac{5\pi}{3} a função assume valores menores ou iguais a \tfrac{1}{2} (por exemplo em x=\pi temos \cos\pi=-1\le\tfrac{1}{2}). Depois de \frac{5\pi}{3} até 2\pi a função volta a ficar maior que \tfrac{1}{2}. Assim o conjunto solução no intervalo dado é o intervalo fechado entre os dois pontos encontrados.

Passo 5

Escrevendo a solução final de forma clara: todos os x no intervalo fechado
\frac{\pi}{3}\le x\le\frac{5\pi}{3}
satisfazem \cos x\le\frac{1}{2} para 0\le x\le 2\pi.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}\le x\le\frac{5\pi}{3}

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