Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo
:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva a inequação trigonométrica no intervalo dado. Informações fornecidas:
- Resolver
. - Domínio considerado:
. - A desigualdade é do tipo “menor ou igual”, portanto inclui os pontos em que
.
Passo 2
Primeira ideia útil: para entender onde
atinge o valor
usamos o círculo unitário e ângulos notáveis. Sabemos que
Como a função
é par (
) e periódica de período
, as soluções gerais da equação
são
Isto significa que, dentro de um período, os ângulos onde
são simetricamente posicionados em torno do eixo
.
Passo 3
Agora extraio as soluções específicas no intervalo
. Tomando
em
dá
. Tomando a outra família
com
dá
Logo os pontos onde
no intervalo pedido são
Passo 4
Para decidir onde
entre esses pontos, uso a continuidade e o comportamento da função cosseno:
é decrescente em
de
até
e crescente em
de
até
. Em
temos
, portanto logo a partir de
até o primeiro encontro
temos
. Entre
e
a função assume valores menores ou iguais a
(por exemplo em
temos
). Depois de
até
a função volta a ficar maior que
. Assim o conjunto solução no intervalo dado é o intervalo fechado entre os dois pontos encontrados.
Passo 5
Escrevendo a solução final de forma clara: todos os
no intervalo fechado
satisfazem
para
.