(2,4) Sejam M e N espaços métricos.
(a) Defina o que é uma função f: M \rightarrow N ser uniformemente contínua.
(b) Mostre que uma função que satisfaz a condição de Hölder (existe \alpha>0 tal que d_{N}(f(x), f(y)) \leq C\left[d_{M}(x, y)\right]^{\alpha}, para todo \left.x, y \in M\right) é uniformemente contínua.

Passo 1

Enunciado e informações dadas:
(a) Pede a definição de quando uma função f: M \to N entre espaços métricos é uniformemente contínua.
(b) Pede para mostrar que se existe \alpha>0 e C\ge 0 tais que
d_{N}\bigl(f(x),f(y)\bigr)\le C\bigl[d_{M}(x,y)\bigr]^{\alpha}\quad\text{para todo }x,y\in M,
então f é uniformemente contínua.
Informações relevantes: M e N são espaços métricos com distâncias d_{M} e d_{N}. A desigualdade acima é a chamada condição de Hölder (com expoente \alpha e constante C).

Passo 2

Definição precisa de uniformemente contínua (resposta da parte (a)). Vou escrever a definição formal e depois explicar em palavras.
Definição formal: f: M\to N é uniformemente contínua se, e somente se,
\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \forall x,y\in M,\quad d_{M}(x,y)<\delta\\ \Longrightarrow\\ d_{N}\bigl(f(x),f(y)\bigr)<\varepsilon.
Explicação em palavras (didática): isso significa que para qualquer tolerância \varepsilon que eu escolha para a variação no valor f(x), existe um único \delta (dependendo só de \varepsilon, e não dos pontos x,y) tal que sempre que x e y estiverem a menos de \delta um do outro em M, então f(x) e f(y) estarão a menos de \varepsilon um do outro em N. A diferença essencial para a continuidade pontual é que aqui o mesmo \delta funciona para todo o espaço M, não depende do ponto onde eu estou.

Passo 3

Interpretação da condição de Hölder fornecida (prévia à prova). A hipótese é que existem constantes \alpha>0 e C\ge 0 tais que, para todos x,y\in M,
d_{N}\bigl(f(x),f(y)\bigr)\le C\bigl[d_{M}(x,y)\bigr]^{\alpha}.
Observação rápida sobre os casos: se C=0 então d_{N}(f(x),f(y))=0 para todo x,y, logo f é constante e obviamente uniformemente contínua. Então o caso interessante é C>0, que será tratado a seguir.

Passo 4

Estratégia de prova para (b): mostrar a definição de uniformemente contínua usando a desigualdade de Hölder. Ou seja, dado qualquer \varepsilon>0 vou construir um \delta>0 (dependendo só de \varepsilon) tal que d_{M}(x,y)<\delta implica d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon.

Passo 5

Construa \delta a partir de \varepsilon. Suponha primeiro C>0. Fixe \varepsilon>0. Como \alpha>0 e C>0, a quantidade
\delta:=\Bigl(\frac{\varepsilon}{C}\Bigr)^{1/\alpha}
é bem definida e \delta>0. (Se \alpha não for inteiro, isto é apenas a raiz real positiva — sempre existe porque \varepsilon/C>0.) No caso C=0 qualquer \delta>0 serve, como já observamos.

Passo 6

Verificação da implicação principal. Suponha d_{M}(x,y)<\delta. Usando a desigualdade de Hölder,
d_{N}\bigl(f(x),f(y)\bigr)\le C\bigl[d_{M}(x,y)\bigr]^{\alpha}.
Como d_{M}(x,y)<\delta e a função t\mapsto t^{\alpha} é monótona crescente para t\ge 0, temos
\bigl[d_{M}(x,y)\bigr]^{\alpha}<\delta^{\alpha}.
Multiplicando por C e usando a definição de \delta obtemos
d_{N}\bigl(f(x),f(y)\bigr)\le C\bigl[d_{M}(x,y)\bigr]^{\alpha}<C\delta^{\alpha}=C\Bigl(\frac{\varepsilon}{C}\Bigr)=\varepsilon.
Portanto d_{M}(x,y)<\delta\Rightarrow d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon.

Passo 7

Conclusão do argumento (fechando a prova de (b)). Vimos que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (escolhida como \delta=(\varepsilon/C)^{1/\alpha} quando C>0, ou qualquer \delta>0 quando C=0) tal que a implicação da definição de uniformemente contínua vale para todos x,y\in M. Logo f é uniformemente contínua. Pequenina observação final: o valor de \delta depende apenas de \varepsilon (e das constantes C,\alpha fixas da condição), não depende de x nem de y — exatamente o que é exigido.

Resposta

(a) f: M\to N é uniformemente contínua se, e somente se,
\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \forall x,y\in M,\quad d_{M}(x,y)<\delta\\ \Longrightarrow\\ d_{N}\bigl(f(x),f(y)\bigr)<\varepsilon.
(b) Sim. Se existe \alpha>0 e C\ge 0 com
d_{N}\bigl(f(x),f(y)\bigr)\le C\bigl[d_{M}(x,y)\bigr]^{\alpha}\\ \text{ para todos }x,y\in M,
então, dado \varepsilon>0, escolhendo \delta=(\varepsilon/C)^{1/\alpha} (se C>0; para C=0 qualquer \delta>0 serve) temos d_{M}(x,y)<\delta\Rightarrow d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon, portanto f é uniformemente contínua.

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