Sejam
e
espaços métricos.
(a) Defina o que é uma função
ser uniformemente contínua.
(b) Mostre que uma função que satisfaz a condição de Hölder (existe
tal que
, para todo
é uniformemente contínua.
(a) Defina o que é uma função
(b) Mostre que uma função que satisfaz a condição de Hölder (existe
Passo 1
Enunciado e informações dadas:
(a) Pede a definição de quando uma função entre espaços métricos é uniformemente contínua.
(b) Pede para mostrar que se existe e
tais que
(a) Pede a definição de quando uma função
(b) Pede para mostrar que se existe
então
é uniformemente contínua.
Informações relevantes: e
são espaços métricos com distâncias
e
. A desigualdade acima é a chamada condição de Hölder (com expoente
e constante
).
Informações relevantes:
Passo 2
Definição precisa de uniformemente contínua (resposta da parte (a)). Vou escrever a definição formal e depois explicar em palavras.
Definição formal: é uniformemente contínua se, e somente se,
Definição formal:
Explicação em palavras (didática): isso significa que para qualquer tolerância
que eu escolha para a variação no valor
, existe um único
(dependendo só de
, e não dos pontos
) tal que sempre que
e
estiverem a menos de
um do outro em
, então
e
estarão a menos de
um do outro em
. A diferença essencial para a continuidade pontual é que aqui o mesmo
funciona para todo o espaço
, não depende do ponto onde eu estou.
Passo 3
Interpretação da condição de Hölder fornecida (prévia à prova). A hipótese é que existem constantes
e
tais que, para todos
,
Observação rápida sobre os casos: se
então
para todo
, logo
é constante e obviamente uniformemente contínua. Então o caso interessante é
, que será tratado a seguir.
Passo 4
Estratégia de prova para (b): mostrar a definição de uniformemente contínua usando a desigualdade de Hölder. Ou seja, dado qualquer
vou construir um
(dependendo só de
) tal que
implica
.
Passo 5
Construa
a partir de
. Suponha primeiro
. Fixe
. Como
e
, a quantidade
é bem definida e
. (Se
não for inteiro, isto é apenas a raiz real positiva — sempre existe porque
.) No caso
qualquer
serve, como já observamos.
Passo 6
Verificação da implicação principal. Suponha
. Usando a desigualdade de Hölder,
Como
e a função
é monótona crescente para
, temos
Multiplicando por
e usando a definição de
obtemos
Portanto
.
Passo 7
Conclusão do argumento (fechando a prova de (b)). Vimos que para todo
existe
(escolhida como
quando
, ou qualquer
quando
) tal que a implicação da definição de uniformemente contínua vale para todos
. Logo
é uniformemente contínua. Pequenina observação final: o valor de
depende apenas de
(e das constantes
fixas da condição), não depende de
nem de
— exatamente o que é exigido.
Resposta
(a)
é uniformemente contínua se, e somente se,
(b) Sim. Se existe
e
com
então, dado
, escolhendo
(se
; para
qualquer
serve) temos
, portanto
é uniformemente contínua.