Utilizando os corolários do teorema de Green, calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas:
y^2=x^3 e y=x

Passo 1

O enunciado pede a área da região D limitada pelas curvas
y^2=x^3
e
y=x
Vamos usar o corolário do Teorema de Green que diz: se D é descrito por
x=g1(y),;x=g2(y), c<= y<= d,
então
Área(D)=integralc^dl(g2(y)-g1(y)r),dy Á

Passo 2

Encontramos as interseções das curvas impondo x=y em y^2=x^3, ou seja
y^2=y^3Longrightarrow y^2(y-1)=0
logo y=0 ou y=1. Em y=0 e y=1 as curvas se cruzam nos pontos (0,0) e (1,1).

Passo 3

Para cada y entre 0 e 1 temos duas abscissas:
x1(y)=y(reta) e x2(y)=l(y^2r)^1/3=y^2/3(curva)
Como para 0<y<1 vale y^2/3>y, a função de maior abscissa é g2(y)=y^2/3 e a menor é g1(y)=y.

Passo 4

Aplicando o corolário:
Área(D) =integral0^1l(y^2/3-yr),dy =l[35,y^5/3-12,y^2r]0^1 =35-12 =6-510 =110 Á

Resposta

A área da região é tfrac110.

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