Para cada uma das funções dadas, determine seu domínio e esboce algumas (ao menos quatro) de suas curvas de nível. Determine também o conjunto-imagem da função (Sugestão. O valor real k está no conjunto imagem da função f somente quando a curva de nível de f, correspondente a z=k, é não vazia.)
9. g(x, y)=raizy.

Passo 1

O enunciado pede para a função de duas variáveis
g(x,y)=raizy
determinar
  1. o domínio,
  2. o conjunto-imagem,
  3. esboçar pelo menos quatro curvas de nível.
    O conteúdo envolvido é análise de domínio pela definição de raiz quadrada, determinação de imagem e estudo de curvas de nível em funções de duas variáveis.

Passo 2

Para que raizy seja real, o radicando deve ser não negativo. Logo a condição é
y>= 0
Não há restrição em x. Assim o domínio é
D=l(x,y)inR^2mid y>=0r

Passo 3

Como raizy>=0 para todo y>=0, os valores possíveis de g(x,y) são todos os números reais não negativos. Portanto o conjunto-imagem é
Im(g)=[0,infty)

Passo 4

A curva de nível de nível k é o conjunto
l(x,y)in Dmid g(x,y)=kr
isto é,
raizy=k
Elevando ao quadrado, obtém-se
y=k^2,
que só tem pontos quando k>=0. Cada curva de nível é, portanto, uma reta horizontal no plano xy dada por y=k^2.

Passo 5

Quatro exemplos de curvas de nível são:
  • Para k=0: reta y=0.
  • Para k=1: reta y=1.
  • Para k=2: reta y=4.
  • Para k=3: reta y=9.
    Em cada caso, x varia livremente em R.

Resposta

Domínio:
D=l(x,y)inR^2mid y>=0r
Conjunto-imagem:
Im(g)=[0,infty)
Curvas de nível: retas horizontais y=k^2 com k>=0, por exemplo y=0,1,4,9.

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