Para cada uma das funções dadas, determine seu domínio e esboce algumas (ao menos quatro) de suas curvas de nível. Determine também o conjunto-imagem da função (Sugestão. O valor real
está no conjunto imagem da função
somente quando a curva de nível de
, correspondente a
, é não vazia.)
9.
.
9.
Passo 1
O enunciado pede para a função de duas variáveis
determinar
- o domínio,
- o conjunto-imagem,
- esboçar pelo menos quatro curvas de nível.
O conteúdo envolvido é análise de domínio pela definição de raiz quadrada, determinação de imagem e estudo de curvas de nível em funções de duas variáveis.
Passo 2
Para que
seja real, o radicando deve ser não negativo. Logo a condição é
Não há restrição em
. Assim o domínio é
Passo 3
Como
para todo
, os valores possíveis de
são todos os números reais não negativos. Portanto o conjunto-imagem é
Passo 4
A curva de nível de nível
é o conjunto
isto é,
Elevando ao quadrado, obtém-se
que só tem pontos quando
. Cada curva de nível é, portanto, uma reta horizontal no plano
dada por
.
Passo 5
Quatro exemplos de curvas de nível são:
- Para
: reta . - Para
: reta . - Para
: reta . - Para
: reta .
Em cada caso,varia livremente em .
Resposta
Domínio:
Conjunto-imagem:
Curvas de nível: retas horizontais
com
, por exemplo
.