Utilizando a definição, calcule as derivadas das seguintes funções:
y=3 x^{2}-6 x+8

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função y dada por
y = 3x^{2} - 6x + 8.
Informações relevantes: a função é um polinômio quadrático com coeficientes numéricos conhecidos. O pedido é obter y' (a derivada) usando a definição da derivada.

Passo 2

Vou escrever a definição de derivada que vamos usar e explicar cada parte dela.\n
A definição (no ponto geral x) é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • f é a função que pretende derivar (no nosso caso f(x)=3x^{2}-6x+8);\n
  • h é um incremento pequeno em x e a derivada é o limite da razão de diferença quando h se aproxima de 0;\n
  • \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a taxa média de variação de f entre x e x+h; ao fazer h\to 0 obtemos a taxa instantânea (a derivada).\n
    Então vamos aplicar essa fórmula passo a passo à nossa função.

Passo 3

Calcular f(x+h). Substituímos x por x+h na expressão de f:
f(x+h)=3(x+h)^{2}-6(x+h)+8.
Agora expandimos os termos:\n
Primeiro (x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}, então
f(x+h)=3\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)-6x-6h+8.
Distribuindo o 3:
f(x+h)=3x^{2}+6xh+3h^{2}-6x-6h+8.

Passo 4

Formar a diferença f(x+h)-f(x). Lembrando que f(x)=3x^{2}-6x+8, então
f(x+h)-f(x)=\bigl(3x^{2}+6xh+3h^{2}-6x-6h+8\bigr)-\bigl(3x^{2}-6x+8\bigr).
Agora cancelamos termos iguais: 3x^{2} cancela com -3x^{2}, -6x cancela com +6x (preste atenção aos sinais) e +8 cancela com -8. Sobram:
f(x+h)-f(x)=6xh+3h^{2}-6h.

Passo 5

Colocar isso sobre h e simplificar a razão. Temos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{6xh+3h^{2}-6h}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{h\,(6x+3h-6)}{h}.
Como h\neq 0 nos passos intermédios (apenas depois fazemos h\to 0), podemos cancelar h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=6x+3h-6.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\bigl(6x+3h-6\bigr).
Como 6x-6 não depende de h e 3h\to 0 quando h\to 0, o limite é
f'(x)=6x-6.

Passo 7

Interpretação rápida: a derivada é uma função que dá a inclinação da reta tangente em cada x. Para a nossa função quadrática, essa inclinação varia linearmente com x e está dada por 6x-6. Se quiser o valor numérico da derivada em um ponto específico, basta substituir o x desejado em 6x-6.\n
Exemplo rápido: em x=1, f'(1)=6\cdot 1-6=0 (reta tangente horizontal).

Resposta

y'=6x-6

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