Utilizando a definição, calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
dada por
Informações relevantes: a função é um polinômio quadrático com coeficientes numéricos conhecidos. O pedido é obter
(a derivada) usando a definição da derivada.
Passo 2
Vou escrever a definição de derivada que vamos usar e explicar cada parte dela.\n
A definição (no ponto geral ) é
A definição (no ponto geral
Aqui:
-
é a função que pretende derivar (no nosso caso );\n -
é um incremento pequeno em e a derivada é o limite da razão de diferença quando se aproxima de ;\n -
é a taxa média de variação de entre e ; ao fazer obtemos a taxa instantânea (a derivada).\n
Então vamos aplicar essa fórmula passo a passo à nossa função.
Passo 3
Calcular
. Substituímos
por
na expressão de
:
Agora expandimos os termos:\n
Primeiro , então
Primeiro
Distribuindo o
:
Passo 4
Formar a diferença
. Lembrando que
, então
Agora cancelamos termos iguais:
cancela com
,
cancela com
(preste atenção aos sinais) e
cancela com
. Sobram:
Passo 5
Colocar isso sobre
e simplificar a razão. Temos
Fatorando
no numerador:
Como
nos passos intermédios (apenas depois fazemos
), podemos cancelar
:
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:
Como
não depende de
e
quando
, o limite é
Passo 7
Interpretação rápida: a derivada é uma função que dá a inclinação da reta tangente em cada
. Para a nossa função quadrática, essa inclinação varia linearmente com
e está dada por
. Se quiser o valor numérico da derivada em um ponto específico, basta substituir o
desejado em
.\n
Exemplo rápido: em ,
(reta tangente horizontal).
Exemplo rápido: em