Utilizando a definição, calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular, utilizando a definição, a derivada da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Queremos a derivada de
em relação a usando a definição (diferença quociente e limite).
Passo 2
Vamos lembrar a definição de derivada que vamos usar (a definição de limite do quociente incremental).
A derivada de uma função
num ponto
é dada por
Explicando cada símbolo:
-
é a função (aqui ). -
é o ponto geral onde queremos a derivada (pode ser qualquer valor de ). -
é um pequeno incremento em ; fazemos tender a para medir a taxa instantânea de variação. - O numerador
é a variação da função quando aumenta de . - Dividimos por
para obter a taxa média de variação e tomamos o limite quando para obter a taxa instantânea (a derivada).
Passo 3
Aplicamos a definição à função
. Primeiro calculamos
:
Agora desenvolvemos esse termo:
Passo 4
Construímos o quociente incremental
. Substituindo
e
obtemos:
Agora simplificamos o numerador: os termos
e
cancelam,
Logo o quociente fica
Passo 5
Simplificamos
. Para
temos
Agora tomamos o limite quando
:
O limite de uma constante é a própria constante, então a derivada é
para todo
.
Passo 6
Interpretação final e dica para a prova: funções lineares da forma
têm derivada constante igual ao coeficiente angular
. Aqui
, por isso
. Na prova, ao ver uma reta, você pode lembrar imediatamente que a derivada é o seu coeficiente angular.