Utilizando a definição, calcule as derivadas das seguintes funções:
y=2 x-3

Passo 1

O enunciado pede para calcular, utilizando a definição, a derivada da função y=2x-3.
Informações dadas:
  • A função é y=2x-3.
  • Queremos a derivada de y em relação a x usando a definição (diferença quociente e limite).

Passo 2

Vamos lembrar a definição de derivada que vamos usar (a definição de limite do quociente incremental).
A derivada de uma função f num ponto x é dada por
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicando cada símbolo:
  • f é a função (aqui f(x)=y).
  • x é o ponto geral onde queremos a derivada (pode ser qualquer valor de x).
  • h é um pequeno incremento em x; fazemos h tender a 0 para medir a taxa instantânea de variação.
  • O numerador f(x+h)-f(x) é a variação da função quando x aumenta de h.
  • Dividimos por h para obter a taxa média de variação e tomamos o limite quando h\to 0 para obter a taxa instantânea (a derivada).

Passo 3

Aplicamos a definição à função f(x)=2x-3. Primeiro calculamos f(x+h):
f(x+h)=2(x+h)-3.
Agora desenvolvemos esse termo:
f(x+h)=2x+2h-3.

Passo 4

Construímos o quociente incremental \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}. Substituindo f(x+h) e f(x) obtemos:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(2x+2h-3)-(2x-3)}{h}.
Agora simplificamos o numerador: os termos 2x e -3 cancelam,
(2x+2h-3)-(2x-3)=2h.
Logo o quociente fica
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2h}{h}.

Passo 5

Simplificamos \dfrac{2h}{h}. Para h\neq 0 temos
\frac{2h}{h}=2.
Agora tomamos o limite quando h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}2=2.
O limite de uma constante é a própria constante, então a derivada é 2 para todo x.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova: funções lineares da forma \,ax+b têm derivada constante igual ao coeficiente angular a. Aqui a=2, por isso f'(x)=2. Na prova, ao ver uma reta, você pode lembrar imediatamente que a derivada é o seu coeficiente angular.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=2

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