Utilizando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções dadas:
f(x)=-2 x^{2}+8 x-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x) = -2x^{2} + 8x - 2.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes são -2, 8 e -2; os expoentes dos termos são 2, 1 e 0 (respectivamente para cada termo). A pergunta concreta é: qual é f'(x)?

Passo 2

Regra que vamos aplicar (explicada de forma didática): a regra do expoente (power rule).
Seja um termo geral \\ a x^{n}, onde \\ a é uma constante e \\ n é um número inteiro positivo. A derivada desse termo é
\frac{d}{dx}\big(a x^{n}\big) = a\cdot n \cdot x^{n-1}.
O que cada símbolo significa:
  • a é o coeficiente (número fixo multiplicando a potência);
  • n é o expoente (grau do termo);
  • x é a variável em relação à qual derivamos.
    Além disso, a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0.
Intuição rápida: derivar reduz o expoente em uma unidade e multiplica pelo expoente original — é como “trazer o expoente para frente” e diminuir o grau.
Exemplo curto para fixar (modelo): se g(x)=x^{3}, então pela regra
g'(x)=3x^{2}.

Passo 3

Aplicando a regra termo a termo: primeiro termo -2x^{2}.
Use \\ a=-2 e \\ n=2. Pela fórmula,
\frac{d}{dx}\big(-2x^{2}\big) = -2\cdot 2 \cdot x^{2-1} = -4x^{1}.
Escrevendo de forma simplificada,
\frac{d}{dx}\big(-2x^{2}\big) = -4x.

Passo 4

Segundo termo 8x. Aqui \\ a=8 e \\ n=1. Pela fórmula,
\frac{d}{dx}\big(8x\big) = 8\cdot 1 \cdot x^{1-1} = 8\cdot x^{0} = 8.
Observação: x^{0}=1, por isso sobra só 8.

Passo 5

Terceiro termo -2 é constante. Pela regra,
\frac{d}{dx}(-2)=0.

Passo 6

Somando as derivadas dos termos (pela linearidade da derivada):
f'(x)=(-4x) + 8 + 0.
Simplificando,
f'(x) = -4x + 8.
Opcionalmente podemos fatorar:
f'(x) = -4(x-2).

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (rápidas e motivadoras): sempre reduza o expoente em uma unidade e multiplique pelo expoente; para termos lineares ax o resultado é a; constantes viram zero. Confere sempre se o grau do polinômio cai em exatamente uma unidade — aqui de 2 para 1. Vai dar certo, respira e confia no passo a passo!

Resposta

f'(x) = -4x + 8

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