Utilizando a definição, calcule as derivadas das seguintes funções:
y=x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, utilizando a definição, a derivada da função y=x^{3}.
Informações dadas: a função é y=x^{3} definida para x reais. A pergunta é: qual é a derivada de y em função de x?

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada (definição pelo quociente incremental). Se f é uma função, sua derivada em x é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicando: h é um pequeno incremento aplicado a x; f(x+h)-f(x) é a variação da função quando x muda em h; dividimos por h para obter a taxa média de variação e depois fazemos h tender a zero para obter a taxa instantânea.

Passo 3

Aplicamos a definição à nossa função f(x)=x^{3}. Primeiro calculamos f(x+h):
f(x+h)=(x+h)^{3}.
Para expandir (x+h)^{3} usamos a fórmula do binômio (ou simplesmente multiplicamos): (x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}.
Aqui cada termo aparece pelos coeficientes binomiais: 1,3,3,1.

Passo 4

Calculamos a diferença f(x+h)-f(x):
f(x+h)-f(x)=(x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3})-x^{3}=3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}.
Agora fatoramos h (isso facilita ao dividir por h):
f(x+h)-f(x)=h\left(3x^{2}+3xh+h^{2}\right).

Passo 5

Formamos o quociente incremental dividindo por h (lembrando que ao calcular o limite consideramos h\neq0 antes de passar ao limite):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=3x^{2}+3xh+h^{2}.
Note como o fator h cancela, deixando um polinômio em x e h.

Passo 6

Tomamos o limite quando h\to0. Usamos que limites de somas e produtos se comportam bem e que polinômios são funções contínuas, então basta substituir h=0 na expressão:
f'(x)=\lim_{h\to0}\bigl(3x^{2}+3xh+h^{2}\bigr)=3x^{2}+3x\cdot 0+0^{2}=3x^{2}.
Intuição: os termos que envolvem h desaparecem quando h vai a zero, sobrando 3x^{2}.

Passo 7

Concluímos que a derivada de y=x^{3} é y'=3x^{2}. Um exemplo numérico de verificação rápida: em x=2 temos y'=3\cdot 2^{2}=12, ou seja, a inclinação da curva y=x^{3} em x=2 é 12.

Resposta

y'=3x^{2}

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