Utilizando a definição, calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular, utilizando a definição, a derivada da função
.
Informações dadas: a função é definida para
reais. A pergunta é: qual é a derivada de
em função de
?
Informações dadas: a função é
Passo 2
Escrevemos a definição de derivada (definição pelo quociente incremental). Se
é uma função, sua derivada em
é
Explicando:
é um pequeno incremento aplicado a
;
é a variação da função quando
muda em
; dividimos por
para obter a taxa média de variação e depois fazemos
tender a zero para obter a taxa instantânea.
Passo 3
Aplicamos a definição à nossa função
. Primeiro calculamos
:
Para expandir
usamos a fórmula do binômio (ou simplesmente multiplicamos):
.
Aqui cada termo aparece pelos coeficientes binomiais: .
Aqui cada termo aparece pelos coeficientes binomiais:
Passo 4
Calculamos a diferença
:
Agora fatoramos
(isso facilita ao dividir por
):
Passo 5
Formamos o quociente incremental dividindo por
(lembrando que ao calcular o limite consideramos
antes de passar ao limite):
Note como o fator
cancela, deixando um polinômio em
e
.
Passo 6
Tomamos o limite quando
. Usamos que limites de somas e produtos se comportam bem e que polinômios são funções contínuas, então basta substituir
na expressão:
Intuição: os termos que envolvem
desaparecem quando
vai a zero, sobrando
.
Passo 7
Concluímos que a derivada de
é
. Um exemplo numérico de verificação rápida: em
temos
, ou seja, a inclinação da curva
em
é
.