Utilizando a definição de diferenciabilidade, prove que as funções abaixo indicadas são diferenciáveis nos respectivos domínios:
,
Passo 1
Então, a gente tem que provar que a função
é diferenciável no seu domínio usando a definição de diferenciabilidade. Diferenciabilidade está ligada à ideia de que uma função pode ser bem aproximada por uma reta (no caso de funções de duas variáveis, por um plano) perto de um ponto específico. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
e verificar se elas existem e são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais existem e são contínuas em todo o domínio da função. Olhando para as expressões das derivadas parciais:
Observamos que ambas são polinômios em
e
, e sabemos que polinômios são funções contínuas em todos os pontos do seu domínio.
Passo 4
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em todo o domínio da função
, segundo o critério de diferenciabilidade, a função
é diferenciável em todo o seu domínio.
Resposta
Portanto, a função
é diferenciável em todo o seu domínio.