Utilizando derivação usual, para as funções f: R^2 R a seguir indicadas obtenha
partial f(x, y)partial x
e
partial f(x, y)partial y
f(x, y)=cos ^5(3 x^4+5 y^7)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial x = 5 cos^4(u) cdot (-sin(u)) cdot partial upartial x em relação a , ou seja, .
A função , onde . Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia:

Passo 3

Vamos calcular u = 3x^4 + 5y^7 partial upartial x = 12x^3 :

Passo 4

Substituindo partial fpartial x = 5 cos^4(3x^4 + 5y^7) cdot (-sin(3x^4 + 5y^7)) cdot 12x^3 na expressão da derivada:
partial fpartial x = -60x^3 cos^4(3x^4 + 5y^7) sin(3x^4 + 5y^7)
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = 5 cos^4(u) cdot (-sin(u)) cdot partial upartial y em relação a , ou seja, .
Usando a mesma lógica da regra da cadeia:

Passo 6

Calculando u = 3x^4 + 5y^7 partial upartial y = 35y^6 :

Passo 7

Substituindo partial fpartial y = 5 cos^4(3x^4 + 5y^7) cdot (-sin(3x^4 + 5y^7)) cdot 35y^6 na expressão da derivada:
partial fpartial y = -175y^6 cos^4(3x^4 + 5y^7) sin(3x^4 + 5y^7)
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x = -60x^3 cos^4(3x^4 + 5y^7) sin(3x^4 + 5y^7) são:
partial fpartial y = -175y^6 cos^4(3x^4 + 5y^7) sin(3x^4 + 5y^7)

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