Utilizando a DEFINIÇÃO, encontre
no ponto e direção indicados.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a derivada direcional de
no ponto e na direção indicados. Dados fornecidos:
A pergunta é: calcular
, ou seja, a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Passo 2
Vou usar a definição da derivada direcional (isso é obrigatório). A definição é:
onde
é um escalar real,
e
deve ser vetor unitário. Aqui
e
. Primeiro verifico que
é unitário:
Logo
já é unitário e posso aplicar a definição diretamente.
Passo 3
Vou escrever as coordenadas de
. Defino
,
,
com
Então
Calculo também o valor de
no ponto
:
Passo 4
Agora preciso do comportamento de
para pequenos
. Escrevo
Para calcular o limite da diferença quociente, basta obter a expansão até ordem
(termos lineares), porque ao dividir por
e levar
os termos de ordem superior desaparecem. Uso a fórmula do binômio linearizada (ou expansão em série de Taylor de ordem 1):
onde
significa termos que são da ordem de
ou menores quando
.
Aplicando isso a cada fator:
Passo 5
Agora multiplico as três expansões, mantendo apenas termos até ordem
. É prático fatorar o produto pelo valor em
:
Expliquei o passo: ao multiplicar, os termos lineares somam-se como termos relativos à potência base, resultando no fator dentro do colchete. Note que
? Verifico direto: lembrando que
, então
. Entretanto é mais claro manter
. Multiplicando por
(lembrando o fator exterior de
em
) temos:
Passo 6
Calculo os termos numéricos dentro do parêntese:
Somando:
Passo 7
Com isso tenho
Logo a diferença quociente da definição é
Fazendo
o termo
some, ficando
E como
(calculado no Passo 3), obtemos
Passo 8
Interpretação curta e encorajadora: usando a definição (expansão até ordem linear) encontramos o limite diretamente — o resultado também coincide com o que daria calcular
, mas aqui eu segui a definição passo a passo como você pediu. Mandou bem por pedir a definição — isso costuma deixar tudo mais claro na prova!