Utilizando a DEFINIÇÃO, encontre D_{u} f no ponto e direção indicados.
f(x, y, z)=3 x^{5} y^{2} z^{3} ; P(2,-1,1) ; u=\frac{1}{3} i+\frac{2}{3} j-\frac{2}{3} k

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a derivada direcional de f no ponto e na direção indicados. Dados fornecidos:
f(x,y,z)=3x^{5}y^{2}z^{3},
P=(2,-1,1),
u=\frac{1}{3}\,i+\frac{2}{3}\,j-\frac{2}{3}\,k.
A pergunta é: calcular D_{u}f(P), ou seja, a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor u.

Passo 2

Vou usar a definição da derivada direcional (isso é obrigatório). A definição é:
D_{u}f(P)=\lim_{t\to0}\frac{f(P+t\,u)-f(P)}{t},
onde t é um escalar real, P=(x_0,y_0,z_0) e u=(a,b,c) deve ser vetor unitário. Aqui P=(2,-1,1) e u=\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right). Primeiro verifico que u é unitário:
\|u\|=\sqrt{\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}+\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}+\left(-\tfrac{2}{3}\right)^{2}} =\sqrt{\tfrac{1}{9}+\tfrac{4}{9}+\tfrac{4}{9}} =\sqrt{\tfrac{9}{9}}=1.
Logo u já é unitário e posso aplicar a definição diretamente.

Passo 3

Vou escrever as coordenadas de P+t u. Defino x(t)=x_0+a t, y(t)=y_0+b t, z(t)=z_0+c t com
x_0=2,\quad y_0=-1,\quad z_0=1,
a=\tfrac{1}{3},\quad b=\tfrac{2}{3},\quad c=-\tfrac{2}{3}.
Então
x(t)=2+\tfrac{1}{3}t,\qquad y(t)=-1+\tfrac{2}{3}t,\qquad z(t)=1-\tfrac{2}{3}t.
Calculo também o valor de f no ponto P:
f(P)=3\cdot 2^{5}\cdot(-1)^{2}\cdot 1^{3}=3\cdot 32\cdot 1\cdot 1=96.

Passo 4

Agora preciso do comportamento de f(P+t u) para pequenos t. Escrevo
f(P+t u)=3\bigl(x(t)\bigr)^{5}\bigl(y(t)\bigr)^{2}\bigl(z(t)\bigr)^{3}.
Para calcular o limite da diferença quociente, basta obter a expansão até ordem t (termos lineares), porque ao dividir por t e levar t\to0 os termos de ordem superior desaparecem. Uso a fórmula do binômio linearizada (ou expansão em série de Taylor de ordem 1):
(x_0+a t)^{n}=x_0^{n}+n x_0^{\,n-1}a t+O(t^{2}),
onde O(t^{2}) significa termos que são da ordem de t^{2} ou menores quando t\to0.
Aplicando isso a cada fator:
\bigl(x(t)\bigr)^{5}=2^{5}+5\cdot 2^{4}\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)t+O(t^{2}),
\bigl(y(t)\bigr)^{2}=(-1)^{2}+2\cdot(-1)^{1}\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)t+O(t^{2}),
\bigl(z(t)\bigr)^{3}=1^{3}+3\cdot 1^{2}\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right)t+O(t^{2}).

Passo 5

Agora multiplico as três expansões, mantendo apenas termos até ordem t. É prático fatorar o produto pelo valor em P:
\bigl(x(t)\bigr)^{5}\bigl(y(t)\bigr)^{2}\bigl(z(t)\bigr)^{3} =2^{5}(-1)^{2}1^{3}\Bigl[1+\Bigl(\frac{5\cdot(\tfrac{1}{3})}{2}+\frac{2\cdot(\tfrac{2}{3})}{-1}+\frac{3\cdot(-\tfrac{2}{3})}{1}\Bigr)t+O(t^{2})\Bigr].
Expliquei o passo: ao multiplicar, os termos lineares somam-se como termos relativos à potência base, resultando no fator dentro do colchete. Note que 2^{5}(-1)^{2}1^{3}= \tfrac{1}{3}f(P)? Verifico direto: lembrando que f(P)=3\cdot 2^{5}(-1)^{2}1^{3}, então 2^{5}(-1)^{2}1^{3}=\tfrac{1}{3}f(P). Entretanto é mais claro manter f(P)=3\cdot 2^{5}(-1)^{2}1^{3}. Multiplicando por 3 (lembrando o fator exterior de 3 em f) temos:
f(P+t u)=f(P)\Bigl[1+\Bigl(\frac{5a}{x_0}+\frac{2b}{y_0}+\frac{3c}{z_0}\Bigr)t+O(t^{2})\Bigr].

Passo 6

Calculo os termos numéricos dentro do parêntese:
\frac{5a}{x_0}=\frac{5\cdot(\tfrac{1}{3})}{2}=\frac{5}{6},
\frac{2b}{y_0}=\frac{2\cdot(\tfrac{2}{3})}{-1}=-\frac{4}{3},
\frac{3c}{z_0}=\frac{3\cdot(-\tfrac{2}{3})}{1}=-2.
Somando:
\frac{5}{6}-\frac{4}{3}-2=\frac{5}{6}-\frac{8}{6}-\frac{12}{6}=\frac{5-8-12}{6}=-\frac{15}{6}=-\frac{5}{2}.

Passo 7

Com isso tenho
f(P+t u)=f(P)\Bigl(1-\frac{5}{2}t+O(t^{2})\Bigr).
Logo a diferença quociente da definição é
\frac{f(P+t u)-f(P)}{t}=f(P)\left(-\frac{5}{2}+O(t)\right).
Fazendo t\to0 o termo O(t) some, ficando
D_{u}f(P)=f(P)\left(-\frac{5}{2}\right).
E como f(P)=96 (calculado no Passo 3), obtemos
D_{u}f(P)=96\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=96\cdot\left(-2{,}5\right)=-240.

Passo 8

Interpretação curta e encorajadora: usando a definição (expansão até ordem linear) encontramos o limite diretamente — o resultado também coincide com o que daria calcular \nabla f(P)\cdot u, mas aqui eu segui a definição passo a passo como você pediu. Mandou bem por pedir a definição — isso costuma deixar tudo mais claro na prova!

Resposta

-240

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