Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
y=\sqrt{x-3};

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a definição formal por limite, a derivada da função y=\sqrt{x-3}.
Informações que temos:
  • A função é y=\sqrt{x-3}.
  • O domínio natural dessa função é x\geq 3 porque dentro da raiz deve-se ter x-3\geq 0.
  • Quer-se a derivada usando a definição por limite (ou seja, não usar regras prontas sem justificativa).

Passo 2

Vou lembrar e explicar a definição formal de derivada que vou usar.
Definição (derivada em um ponto): Se f é uma função e x é um ponto do domínio, a derivada de f em x é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando esse limite existe (finito). Aqui:
  • h representa um pequeno incremento no ponto x.
  • A expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é o coeficiente angular da reta secante que passa por (x,f(x)) e (x+h,f(x+h)).
  • O limite h\to 0 entrega a inclinação da reta tangente em x, se existir.
Observação importante: se ao substituir h=0 diretamente na diferença de quociente obtivermos uma forma \dfrac{0}{0}, precisamos manipular a expressão (algebricamente) para avaliar o limite — isso é comum.

Passo 3

Aplicando a definição à nossa função f(x)=\sqrt{x-3}, escrevemos o quociente de diferença:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h-3}-\sqrt{x-3}}{h}.
Se tentarmos pôr h=0 aparece a forma \dfrac{0}{0}, então vamos manipular algebricamente para poder calcular o limite. Uma técnica clássica com raízes é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
\frac{\sqrt{x+h-3}-\sqrt{x-3}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h-3}+\sqrt{x-3}}{\sqrt{x+h-3}+\sqrt{x-3}} =\frac{(\sqrt{x+h-3})^{2}-(\sqrt{x-3})^{2}}{h\bigl(\sqrt{x+h-3}+\sqrt{x-3}\bigr)}.

Passo 4

Agora simplificamos o numerador usando a identidade a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b):
(\sqrt{x+h-3})^{2}-(\sqrt{x-3})^{2}=(x+h-3)-(x-3)=h.
Substituindo no quociente obtemos
\frac{h}{h\bigl(\sqrt{x+h-3}+\sqrt{x-3}\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{x+h-3}+\sqrt{x-3}},
para h\neq 0. Essa expressão já não tem a forma \dfrac{0}{0}, então podemos passar ao limite.

Passo 5

Tomando o limite quando h\to 0,
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h-3}+\sqrt{x-3}} =\frac{1}{\sqrt{x-3}+\sqrt{x-3}} =\frac{1}{2\sqrt{x-3}},
contanto que \sqrt{x-3} seja um número positivo finito, ou seja, para x>3. Portanto, para qualquer ponto x>3 a derivada existe e vale
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-3}}.

Passo 6

Agora verifico o ponto limite x=3 (ponto da borda do domínio). Calculo a definição no ponto x=3:
f'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{3+h-3}-\sqrt{0}}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h}}{h}.
Note que, pela restrição do domínio, só faz sentido considerar h\ge 0 (não podemos tomar h<0 porque 3+h<3 sairia do domínio). Para h>0 temos \dfrac{\sqrt{h}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}, cujo limite quando h\to 0^{+} é +\infty. Assim, não existe um limite finito em x=3; a derivada não existe em x=3 (a inclinação da reta tangente seria “infinita”).

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-3}} para x>3.
A derivada não existe em x=3.

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