Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando a definição formal por limite, a derivada da função
.
Informações que temos:
- A função é
. - O domínio natural dessa função é
porque dentro da raiz deve-se ter . - Quer-se a derivada usando a definição por limite (ou seja, não usar regras prontas sem justificativa).
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição formal de derivada que vou usar.
Definição (derivada em um ponto): Se
é uma função e
é um ponto do domínio, a derivada de
em
é
quando esse limite existe (finito). Aqui:
-
representa um pequeno incremento no ponto . - A expressão
é o coeficiente angular da reta secante que passa por e . - O limite
entrega a inclinação da reta tangente em , se existir.
Observação importante: se ao substituir
diretamente na diferença de quociente obtivermos uma forma
, precisamos manipular a expressão (algebricamente) para avaliar o limite — isso é comum.
Passo 3
Aplicando a definição à nossa função
, escrevemos o quociente de diferença:
Se tentarmos pôr
aparece a forma
, então vamos manipular algebricamente para poder calcular o limite. Uma técnica clássica com raízes é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
Passo 4
Agora simplificamos o numerador usando a identidade
:
Substituindo no quociente obtemos
para
. Essa expressão já não tem a forma
, então podemos passar ao limite.
Passo 5
Tomando o limite quando
,
contanto que
seja um número positivo finito, ou seja, para
. Portanto, para qualquer ponto
a derivada existe e vale
Passo 6
Agora verifico o ponto limite
(ponto da borda do domínio). Calculo a definição no ponto
:
Note que, pela restrição do domínio, só faz sentido considerar
(não podemos tomar
porque
sairia do domínio). Para
temos
, cujo limite quando
é
. Assim, não existe um limite finito em
; a derivada não existe em
(a inclinação da reta tangente seria “infinita”).
Resposta
A derivada não existe em