Utilizando a definição de limite, prove formalmente que:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar, usando a definição de limite, que quando
se aproxima de
, a função
tem limite igual a
. Vamos precisar entender a definição de limite para funções de duas variáveis e aplicar isso na nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
significa que para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
.
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
:
Queremos que isso seja menor que
:
Passo 4
Agora, expressamos
e
em termos de sua distância até
. Seja
. Isso implica que
e
.
Vamos tentar relacionar
com
:
Passo 5
Sabemos que
e
, então:
Queremos que
, ou seja,
.
Passo 6
Então, para garantir que
, basta escolher:
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, provamos que: