Utilizando a definição de limite, prove formalmente que: lim (x, y) (1,3) 3 x-5 y+7=-5,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de , a função tem limite igual a . Vamos precisar entender a definição de limite para funções de duas variáveis e aplicar isso na nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = L
significa que para todo , existe um tal que sempre que , então .
No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos começar calculando |3x - 5y + 7 - (-5)| = |3x - 5y + 12| :
|3x - 5y + 12| < epsilon
Queremos que isso seja menor que :

Passo 4

Agora, expressamos |3x - 5y + 12| = |3(x - 1) - 5(y - 3)| <= 3|x - 1| + 5|y - 3| e em termos de sua distância até . Seja . Isso implica que e .
Vamos tentar relacionar com :

Passo 5

Sabemos que 3|x - 1| + 5|y - 3| < 3de e , então:
Queremos que , ou seja, .

Passo 6

Então, para garantir que de, basta escolher:

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, provamos que:
lim(x, y) to (1, 3) 3x - 5y + 7 = -5

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