Utilizando as propriedades aritméticas do limite de sequências, calcule os seguintes limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt{n^{2}+n}-n.

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\bigl(\sqrt{n^2+n}-n\bigr).
Vamos usar propriedades de limites (soma, produto e quociente) e a técnica de racionalização para lidar com a diferença de dois termos que crescem sem limite.

Passo 2

Racionalizamos a diferença multiplicando por \sqrt{n^2+n}+n no numerador e denominador:
\sqrt{n^2+n}-n = \frac{\bigl(\sqrt{n^2+n}-n\bigr)\bigl(\sqrt{n^2+n}+n\bigr)}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}.

Passo 3

Fatoramos n dentro da raiz para simplificar o denominador:
\sqrt{n^2+n}=n\sqrt{1+\tfrac1n},
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\sqrt{n^2+n}+n = n\sqrt{1+\tfrac1n} + n = n\bigl(\sqrt{1+\tfrac1n}+1\bigr).
Então
\sqrt{n^2+n}-n = \frac{n}{n\bigl(\sqrt{1+\tfrac1n}+1\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{1+\tfrac1n}+1}.

Passo 4

Aplicando o limite em cada parte, usamos \lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\tfrac1n}=1. Assim,
\lim_{n\to+\infty}\bigl(\sqrt{n^2+n}-n\bigr) = \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac1n}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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