Utilizando coordenadas esféricas, calcule:
integral triplaW raiz1+(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d x d y d z, onde W=(x, y, z) in R^3 / x^2+ y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral triplaW raiz1+l(x^2+y^2+z^2r)^3/2;dx,dy,dz,
onde W é a bola de raio 1 centrada na origem. O conteúdo aqui é o uso de coordenadas esféricas, que facilitam a descrição de regiões esféricas e a mudança de variável no volume.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi,
com 0<=rho<=1, 0<=phi<=pi e 0<=theta<=2pi. O jacobiano vale rho^2sinphi e além disso
x^2+y^2+z^2=rho^2,
logo l(x^2+y^2+z^2r)^3/2=(rho^2)^3/2=rho^3. A integral vira
integraltheta=0^2piintegralphi=0^piintegralrho=0^1 raiz1+rho^3;rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta

Passo 3

Primeiro separamos a parte angular:
integral0^2pidtheta;integral0^pisinphi,dphi =2pi;l[-cosphir]0^pi =2picdot2=4pi
Logo a integral total é
4piintegral0^1rho^2raiz1+rho^3;drho

Passo 4

Para calcular
integral0^1rho^2raiz1+rho^3;drho
fazemos a substituição u=1+rho^3, de modo que du=3rho^2drho e rho^2drho=du/3. Quando rho=0 temos u=1 e quando rho=1 temos u=2. Assim
integral0^1rho^2raiz1+rho^3,drho =13integral1^2u^1/2,du =13cdot23l[u^3/2r]1^2 =29l(2^3/2-1r)

Passo 5

Multiplicando pelo fator angular 4pi, a integral desejada é
4pi;29l(2^3/2-1r) =8pi9l(2^3/2-1r)

Resposta

8pi9l(2^3/2-1r)

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