Utilizando coordenadas esféricas, calcule:
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é a bola de raio
centrada na origem. O conteúdo aqui é o uso de coordenadas esféricas, que facilitam a descrição de regiões esféricas e a mudança de variável no volume.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com
,
e
. O jacobiano vale
e além disso
logo
. A integral vira
Passo 3
Primeiro separamos a parte angular:
Logo a integral total é
Passo 4
Para calcular
fazemos a substituição
, de modo que
e
. Quando
temos
e quando
temos
. Assim
Passo 5
Multiplicando pelo fator angular
, a integral desejada é