Sabendo que
, encontre um
para
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá a informação
e pede: para
encontra um
tal que
Aqui
. Resumindo: dado
, encontrar
que garanta a implicação acima.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente a diferença que queremos controlar. Substituindo
e o valor do limite
, temos a quantidade cuja magnitude deve ser menor que
:
Agora simplificamos essa expressão.
Passo 3
Calcular a expressão dentro do valor absoluto:
Usando a propriedade do valor absoluto
, obtemos
Passo 4
Queremos que
. Isolando
obtemos
Agora calculamos a divisão. Como
, temos a condição
Passo 5
Portanto, uma escolha natural e suficiente é tomar
Mostramos a implicação formal: se
então
que é exatamente a exigência com
.
Passo 6
Comentário prático (dica para prova): sempre que
for afim
, a diferença do limite vira
. Assim
funciona. Aqui
, logo
. Note que qualquer
menor que
também serve.