Sabendo que \lim _{x \rightarrow 1}(-5 x+3)=-2, encontre um \delta para \varepsilon=0,02 tal que 0<|x-1|<\delta \Rightarrow|f(x)-(-2)|<0,02.

Passo 1

O enunciado nos dá a informação
\lim_{x\to 1}(-5x+3)=-2
e pede: para \varepsilon=0,02 encontra um \delta>0 tal que
0<|x-1|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-(-2)|<0,02.
Aqui f(x)=-5x+3. Resumindo: dado \varepsilon=0,02, encontrar \delta que garanta a implicação acima.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a diferença que queremos controlar. Substituindo f(x)=-5x+3 e o valor do limite -2, temos a quantidade cuja magnitude deve ser menor que \varepsilon:
|f(x)-(-2)|=|(-5x+3)+2|.
Agora simplificamos essa expressão.

Passo 3

Calcular a expressão dentro do valor absoluto:
(-5x+3)+2 = -5x+5 = -5(x-1).
Usando a propriedade do valor absoluto |ab|=|a||b|, obtemos
|f(x)-(-2)|=|-5(x-1)|=5|x-1|.

Passo 4

Queremos que 5|x-1|<0,02. Isolando |x-1| obtemos
|x-1|<\frac{0,02}{5}.
Agora calculamos a divisão. Como \dfrac{0,02}{5}=0,004, temos a condição
|x-1|<0,004.

Passo 5

Portanto, uma escolha natural e suficiente é tomar
\delta=0,004.
Mostramos a implicação formal: se 0<|x-1|<\delta então
|f(x)-(-2)|=5|x-1|<5\delta=5\cdot 0,004=0,02,
que é exatamente a exigência com \varepsilon=0,02.

Passo 6

Comentário prático (dica para prova): sempre que f for afim ax+b, a diferença do limite vira |a||x-x_0|. Assim \delta=\dfrac{\varepsilon}{|a|} funciona. Aqui a=-5, logo \delta=\dfrac{0,02}{5}=0,004. Note que qualquer \delta menor que 0,004 também serve.

Resposta

\delta=0,004

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