Utilizando derivação implícita, determine d yd x :
(a) x^2+y^2=raiz7
(f) e^x^2+ln y=0
(b) x y+x+y=5
© x ln y+y^3=ln x
(g) y tg(x+y)=4
(d) cos ^2 y+sen^2 y=y+2
(e) e^cos y=x^3 arctg y
(h) e^cos x+e^sen y=14

Passo 1

Vamos usar derivação implícita em cada uma das equações: derivamos ambos os lados em relação a x, lembrando que toda vez que derivamos algo em y multiplicamos por y' = dydx.

Passo 2

Para (a), temos x^2+y^2=raiz7.
Derivando ambos os lados em relação a x:
2x + 2y,y' = 0
Isolando y':
y' = -xy

Passo 3

Para (f), temos e^x^2 + ln y = 0.
Derivando:
ddxl(e^x^2r) + ddx(ln y) = 0
2x,e^x^2 + 1y,y' = 0
Isolando y':
y' = -2x,y,e^x^2

Passo 4

Para (b), temos xy + x + y = 5.
Derivando:
x,y' + y + 1 + y' = 0
Agrupando y':
(x + 1),y' + (y + 1) = 0
y' = -y+1x+1

Passo 5

Para ©, temos xln y + y^3 = ln x.
Derivando:
1cdotln y + xcdot1y,y' + 3y^2,y' = 1x
Agrupando y':
ln y + l(xy + 3y^2r)y' = 1x
y' = 1x - ln yxy + 3y^2

Passo 6

Para (g), temos ytan(x+y)=4.
Derivando:
y'tan(x+y) + ysec^2(x+y)(1 + y') = 0
Expandindo e agrupando y':
l(tan(x+y) + ysec^2(x+y)r)y' + ysec^2(x+y) = 0
y' = -ysec^2(x+y)tan(x+y) + ysec^2(x+y)

Passo 7

Para (d), temos cos^2y + sin^2y = y + 2.
Derivando:
-2cos ysin y,y' + 2sin ycos y,y' = y'
O lado esquerdo se anula, sobrando:
0 = y' Longrightarrow y' = 0

Passo 8

Para (e), temos e^cos y = x^3arctan y.
Derivando:
e^cos y(-sin y),y' = 3x^2arctan y + x^3cdot11+y^2,y'
Agrupando termos com y':
- e^cos ysin y,y' - x^31+y^2,y' = 3x^2arctan y
y' = -3x^2arctan ye^cos ysin y + tfracx^31+y^2

Passo 9

Para (h), temos e^cos x + e^sin y = tfrac14.
Derivando:
e^cos x(-sin x) + e^sin ycos y,y' = 0
Isolando y':
y' = e^cos xsin xe^sin ycos y

Resposta

(a) y' = -tfracxy
(f) y' = -2x,y,e^x^2
(b) y' = -tfracy+1x+1
© y' = tfractfrac1x - ln ytfracxy + 3y^2
(g) y' = -tfracysec^2(x+y)tan(x+y) + ysec^2(x+y)
(d) y' = 0
(e) y' = -tfrac3x^2arctan ye^cos ysin y + tfracx^31+y^2
(h) y' = tfrace^cos xsin xe^sin ycos y

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