Utilizando derivação implícita, determine d yd x :
e^cos y=x^3 arctg y

Passo 1

O enunciado diz pra usar derivação implícita na equação e^cos y = x^3,arctan y. O que precisamos é da regra da cadeia pra diferenciar e^cos y e da regra do produto pra derivar x^3,arctan y, além da derivada de arctan y.

Passo 2

Vamos diferenciar o lado esquerdo e^cos y. Primeiro, a derivada de e^u é e^uu'. Aqui u=cos y, cuja derivada é -sin y,y'. Então temos:
ddxe^cos y=e^cos ycdot(-sin y),y'=-e^cos ysin y,y'

Passo 3

Agora diferenciamos o lado direito x^3,arctan y usando a regra do produto: (fg)'=f'g+fg'. Tomando f=x^3 e g=arctan y, temos:
  • f'=3x^2, então f'g=3x^2arctan y.
  • g'=11+y^2,y', então fg'=x^3cdot11+y^2,y'.
    Juntando:
ddx(x^3,arctan y)=3x^2arctan y+ x^3y'1+y^2

Passo 4

Igualando as duas derivações e recolhendo os termos com y':
-e^cos ysin y,y'=3x^2arctan y+ x^3y'1+y^2
Passamos o termo com y' do lado direito para o esquerdo:
-e^cos ysin y,y' - x^3y'1+y^2=3x^2arctan y
Fatorando y':
y'l(-e^cos ysin y - x^31+y^2r)=3x^2arctan y
Isolando y':
y' = -3x^2arctan ye^cos ysin y + dfracx^31+y^2

Resposta

dydx = -3x^2arctan ye^cos ysin y + dfracx^31+y^2

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