Calcule os limites, caso exista:
lim x 2(3 x^2-2 x-5-x^2+3 x+4)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x 2(3x^2 - 2x - 5-x^2 + 3x + 4)^3
Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais e potências de funções. Para resolver isso, vamos primeiro encontrar o limite da fração dentro dos parênteses quando $ x $ se aproxima de 2 e depois elevar esse resultado ao cubo.

Passo 2

Vamos começar substituindo $ x = 2 $ na fração para ver se conseguimos calcular o limite diretamente:
Numerador: $ 3(2)^2 - 2(2) - 5 = 3(4) - 4 - 5 = 12 - 4 - 5 = 3 $
Denominador: $ -(2)^2 + 3(2) + 4 = -4 + 6 + 4 = 6 $
Então, a fração fica:
x = 2

Passo 3

Agora que encontramos que o limite da fração é $ \frac{1}{2} $, precisamos elevar esse valor ao cubo, conforme a expressão original:
12

Passo 4

Calculando a potência:
(12)^3 = 1^32^3 = 18

Resposta

O limite é $ \frac{1}{8} $.

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