Utilizando derivação implícita, determine \frac{d y}{d x} :

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita x,y + y^3 = ln x e pede dydx. Vamos usar derivação implícita aplicando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
ddx(x,y) + ddx(y^3) = ddx(ln x)
Pela regra do produto:
ddx(x,y) = xdydx + y,
pela regra da cadeia:
ddx(y^3) = 3y^2dydx,
e por derivada de logaritmo:
ddx(ln x) = 1x
Substituindo tudo na equação obtém-se:
xdydx + y + 3y^2dydx = 1x

Passo 3

Agrupando os termos que contêm dydx:
(x + 3y^2)dydx + y = 1x
Isolando esses termos:
(x + 3y^2)dydx = 1x - y

Passo 4

Finalmente, dividindo ambos os lados por (x + 3y^2) para resolver para dydx:
dydx = 1x - yx + 3y^2

Resposta

dydx = tfrac1x - yx + 3y^2

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