Utilizando derivação implícita, determine \frac{d y}{d x} :
e^cos y=x^3 arctg y

Passo 1

Temos a equação implícita e^cos y = x^3 arctg y. O conteúdo principal é derivação implícita, e vamos usar a regra da cadeia, a regra do produto e a derivada de arctg y, que é 1/(1+y^2).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x: no lado esquerdo aplicamos a regra da cadeia em e^cos y:
ddxl(e^cos yr) = e^cos y cdot ( -sin y ) cdot dydx
No lado direito temos x^3 arctg y. Pela regra do produto:
ddxl(x^3 arctg yr) = 3x^2 arctg y + x^3 cdot 11+y^2 cdot dydx

Passo 3

Agora reunimos todos os termos com dy/dx em um lado da igualdade. Fica:
-e^cos ysin y dydx - x^31+y^2dydx = 3x^2 arctg y

Passo 4

Fatorando dy/dx e isolando-o:
dydxgl(-e^cos ysin y - x^31+y^2gr) = 3x^2 arctg y
Portanto
dydx = 3x^2 arctg y-e^cos ysin y - x^31+y^2 = -3x^2 arctg ye^cos ysin y + x^31+y^2

Passo 5

Simplificamos o sinal multiplicando numerador e denominador por (-1).

Resposta

dydx = -3x^2 arctg ye^cos y sin y + tfracx^31+y^2

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