Utilizando a derivação pelo parâmetro, calcule a integral imprópria :
integral0^infty arctg(alpha x)x(1+x^2) d x

Passo 1

A integral que queremos calcular é a seguinte integral imprópria em função do parâmetro α, usando derivação sob o sinal de integral.

Passo 2

Definimos
I(alpha)=integral0^inftyarctan(alpha x)x(1+x^2),dx
Como arctan(αx) depende de α, podemos trocar derivação e integral e obter
[I’(\alpha)=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial\alpha}\Bigl(\frac{\arctan(\alpha x)}{x(1+x^{2})}\Bigr),dx
=\int_{0}^{\infty}\frac{x}{1+(\alpha x){2}}\cdot\frac{1}{x(1+x{2})},dx
=\int_{0}{\infty}\frac{dx}{(1+x{2})(1+\alpha{2}x{2})}.

Passo 3

Para calcular
I'(alpha)=integral0^inftydx(1+x^2)(1+alpha^2x^2),
multiplicamos e dividimos por alpha^2:
$$\frac{1}{(1+x{2})(1+\alpha{2}x{2})}=\frac{1}{\alpha{2}}\cdot\frac{1}{(x{2}+1)(x{2}+1/\alpha^{2})}.
1(1+x^2)(1+alpha^2x^2)=1alpha^2cdot1(x^2+1)(x^2+1/alpha^2) ã\int_{0}{\infty}\frac{dx}{(x{2}+a{2})(x{2}+b^{2})}=\frac{\pi}{2ab(a+b)},$$
com integral0^inftydx(x^2+a^2)(x^2+b^2)=pi2ab(a+b), e a=1, obtendo
$$I’(\alpha)=\frac{1}{\alpha^{2}}\cdot\frac{\pi}{2\cdot1\cdot(1/\alpha)\bigl(1+1/\alpha\bigr)}=\frac{\pi}{2(\alpha+1)}.
$$

Passo 4

Agora integramos em α:
$$I(\alpha)=\int I’(\alpha),d\alpha=\int\frac{\pi}{2(\alpha+1)},d\alpha=\frac{\pi}{2}\ln(\alpha+1)+C.
I(alpha)=integral I'(alpha),dalpha=integralpi2(alpha+1),dalpha=pi2ln(alpha+1)+C 0=I(0)=\frac{\pi}{2}\ln1+C\implies C=0.
$$

Passo 5

Portanto chegamos ao valor da integral original em função de α.

Resposta

pi2ln(1+alpha)

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