Utilizando a derivação pelo parâmetro, calcule a integral imprópria :
Passo 1
A integral que queremos calcular é a seguinte integral imprópria em função do parâmetro α, usando derivação sob o sinal de integral.
Passo 2
Definimos
Como arctan(αx) depende de α, podemos trocar derivação e integral e obter
[I’(\alpha)=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial\alpha}\Bigl(\frac{\arctan(\alpha x)}{x(1+x^{2})}\Bigr),dx
=\int_{0}^{\infty}\frac{x}{1+(\alpha x){2}}\cdot\frac{1}{x(1+x{2})},dx
=\int_{0}{\infty}\frac{dx}{(1+x{2})(1+\alpha{2}x{2})}.
Passo 3
Para calcular
multiplicamos e dividimos por
$$\frac{1}{(1+x{2})(1+\alpha{2}x{2})}=\frac{1}{\alpha{2}}\cdot\frac{1}{(x{2}+1)(x{2}+1/\alpha^{2})}.
com
e
, obtendo
$$I’(\alpha)=\frac{1}{\alpha^{2}}\cdot\frac{\pi}{2\cdot1\cdot(1/\alpha)\bigl(1+1/\alpha\bigr)}=\frac{\pi}{2(\alpha+1)}.
$$
Passo 4
Agora integramos em α:
$$I(\alpha)=\int I’(\alpha),d\alpha=\int\frac{\pi}{2(\alpha+1)},d\alpha=\frac{\pi}{2}\ln(\alpha+1)+C.
$$
Passo 5
Portanto chegamos ao valor da integral original em função de α.