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Determine o dy/dx das funções abaixo:
y=3 z^3, z=e^5 w^3, w=sen^2(x)

Passo 1

Vamos organizar o que temos e identificar o conteúdo: a função é composta em três níveis, pois y depende de z, z depende de w e w depende de x. Para calcular dy/dx vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando y em relação a z. Como y=3z^3, aplicamos a derivada de potência:
dydz=3cdot3z^3-1=9z^2

Passo 3

Derivando z em relação a w. Aqui z= e{5w3}, então usamos a derivada da exponencial e a regra da cadeia no expoente:
dzdw=e^5w^3cdotddw(5w^3)=e^5w^3cdot15w^2=15w^2e^5w^3

Passo 4

Derivando w em relação a x. Como w=\sin^2(x), aplicamos a derivada de potência e derivate de seno:
dwdx=2sin(x)cdotcos(x)=2sin(x)cos(x)

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
dydx=dydzcdotdzdwcdotdwdx
Substituindo cada derivada e lembrando que z=e{5w3} e w=\sin^2(x), temos
dydx=9z^2times15w^2e^5w^3times2sin(x)cos(x)
Podemos notar que e{5w3}=z, então isso vira
dydx=9z^2times15w^2ztimes2sin(x)cos(x)=270,w^2,z^3,sin(x)cos(x)
E substituindo w=\sin^2(x) e z=e{5\sin6(x)} obtemos a expressão em função de x.

Passo 6

Para simplificar mais, w2=\sin4(x), z3=(e{5\sin6(x)})3=e{15\sin6(x)} e combinando com \sin(x)\cos(x), chegamos a:
dydx=270,sin^5(x),cos(x),e^15sin^6(x)

Resposta

dydx=270,sin^5(x),cos(x),e^15sin^6(x)

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