Utilizando a derivação pelo parâmetro, calcule as seguintes integrais:
c)
c)
Passo 1
Então, a gente tem uma integral meio complicada aqui:
, onde
e
são maiores que zero. O conteúdo da matéria envolve integração por diferenciação em parâmetros, que é uma técnica útil pra resolver integrais que dependem de um ou mais parâmetros. Vamos precisar usar essa técnica e também conhecer algumas integrais padrão envolvendo exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes, já que temos uma diferença de duas exponenciais:
Vamos chamar a primeira integral de
e a segunda de
. Ou seja,
Então, nossa integral original fica
. Vamos calcular
, onde
pode ser
ou
.
Passo 3
Agora, para calcular
, vamos usar a técnica de diferenciação com respeito ao parâmetro
.
Primeiro, diferenciamos
em relação a
:
Podemos trocar a ordem da derivada e da integral (desde que as condições de convergência sejam satisfeitas):
Passo 4
Agora, temos uma integral mais simples para resolver:
Conhecemos uma integral padrão:
Portanto,
Passo 5
Agora, para encontrar
, precisamos integrar
em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, o que nos leva a:
Passo 6
Determinar a constante de integração
. Quando
,
. Mas observando a definição original de
, quando
,
para todo
, então
.
Assim,
Portanto,
Passo 7
Agora, lembrando que nossa integral original é
, substituímos
por
e
:
Simplificando:
Resposta
A integral dada é igual a: