Utilizando a derivação pelo parâmetro, calcule as seguintes integrais:
c) integral0^infty e^-alpha x^2-e^-beta x^2x sen(m x) d x, (alpha>0, beta>0)

Passo 1

Então, a gente tem uma integral meio complicada aqui: , onde e são maiores que zero. O conteúdo da matéria envolve integração por diferenciação em parâmetros, que é uma técnica útil pra resolver integrais que dependem de um ou mais parâmetros. Vamos precisar usar essa técnica e também conhecer algumas integrais padrão envolvendo exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes, já que temos uma diferença de duas exponenciais:
integral0^infty e^-alpha x^2 - e^-beta x^2x sin(m x) , dx = integral0^infty e^-alpha x^2x sin(m x) , dx - integral0^infty e^-beta x^2x sin(m x) , dx
Vamos chamar a primeira integral de I(alpha) = integral0^infty e^-alpha x^2x sin(m x) , dx e a segunda de I(beta) = integral0^infty e^-beta x^2x sin(m x) , dx . Ou seja,
Então, nossa integral original fica . Vamos calcular , onde pode ser ou .

Passo 3

Agora, para calcular dIdgamma = ddgamma integral0^infty e^-gamma x^2x sin(m x) , dx , vamos usar a técnica de diferenciação com respeito ao parâmetro dIdgamma = integral0^infty partialpartial gamma ( e^-gamma x^2x sin(m x) ) dx = -integral0^infty x e^-gamma x^2 sin(m x) , dx .
Primeiro, diferenciamos em relação a :
Podemos trocar a ordem da derivada e da integral (desde que as condições de convergência sejam satisfeitas):

Passo 4

Agora, temos uma integral mais simples para resolver:
dIdgamma = -integral0^infty x e^-gamma x^2 sin(m x) , dx
Conhecemos uma integral padrão:
integral0^infty x e^-gamma x^2 sin(m x) , dx = m4 gamma^3/2 raizpi e^-m^2/(4gamma)
Portanto,
dIdgamma = -m raizpi4 gamma^3/2 e^-m^2/(4gamma)

Passo 5

Agora, para encontrar I(gamma) = -integral m raizpi4 gamma^3/2 e^-m^2/(4gamma) , dgamma + C , precisamos integrar I(gamma) = -m raizpi4 ( -2 e^-u ) + C = m raizpi2 e^-m^2/(4gamma) + C em relação a :
Fazendo a substituição , temos , o que nos leva a:

Passo 6

Determinar a constante de integração 0 = m raizpi2 cdot 1 + C Rightarrow C = -m raizpi2 . Quando I(gamma) = m raizpi2 ( e^-m^2/(4gamma) - 1 ) , . Mas observando a definição original de , quando , para todo , então .
Assim,
Portanto,

Passo 7

Agora, lembrando que nossa integral original é I(alpha) - I(beta) = m raizpi2 ( e^-m^2/(4alpha) - 1 ) - m raizpi2 ( e^-m^2/(4beta) - 1 ) , substituímos = m raizpi2 ( e^-m^2/(4alpha) - e^-m^2/(4beta) ) por e :
Simplificando:

Resposta

A integral dada é igual a:
m raizpi2 ( e^-,dfracm^24,alpha - e^-,dfracm^24,beta )

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